Determine o polinômio característico P_{A}(x) e o polinômio minimal m(x) da matriz A abaixo:
A=\left[\begin{array}{ccc} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede o polinômio característico P_{A}(x) e o polinômio minimal m(x) da matriz triangular
A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0\\\\ 0 & 2 & 0\\\\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}.
Como a matriz é triangular, seus autovalores são os elementos da diagonal e o polinômio característico é o produto de (x - \text{cada diagonal}). Para o polinômio minimal, precisamos saber a maior potência de cada fator (x - \lambda) necessária para anular a parte de Jordan associada a \lambda.

Passo 2

Calculando o polinômio característico pela fórmula \det(xI - A) para matriz triangular:
P_{A}(x) \;=\;\det\begin{pmatrix} x-2 & -1 & 0\\\\ 0 & x-2 & 0\\\\ 0 & 0 & x+1 \end{pmatrix} \;=\;(x-2)\,(x-2)\,(x+1) \;=\;(x-2)^{2}(x+1).

Passo 3

Para o polinômio minimal m(x), examinamos cada autovalor:
– Para \lambda = -1, a multiplicidade algébrica é 1 e não há bloco de Jordan maior que 1\times1, logo entra o fator (x+1) apenas na primeira potência.
– Para \lambda = 2, a submatriz
A - 2I = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & -3 \end{pmatrix}
tem um bloco de Jordan de tamanho 2 (pois existe o 1 sobre a diagonal principal no canto superior esquerdo), o que exige (x-2)^{2} no polinômio minimal.
Assim,
m(x) = (x-2)^{2}(x+1).

Resposta

P_{A}(x) = (x-2)^{2}(x+1)
m(x) = (x-2)^{2}(x+1)

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