Considere em R^3 as seguintes operações de adição e multiplicação por escalar:
(x1, y1, z1)+(x2, y2, z2)=(x1+x2, y1+y2, z1+z2) e lambda cdot(x, y, z)=(0,0,0)
Verifique se R^3 com essas operações é um espaço vetorial.

Passo 1

O enunciado define em R^3 a adição usual\r
(x1,y1,z1)+(x2,y2,z2)=(x1+x2,;y1+y2,;z1+z2) \r
e a multiplicação por escalar “degenerada”\r
lambdacdot(x,y,z)=(0,0,0) \r
para todo lambdainR e todo (x,y,z)inR^3. \r
Para que R^3 seja espaço vetorial sobre R precisamos, entre outros, que o escalar neutro 1 satisfaça\r
1cdot v = v \r
para todo vinR^3.

Passo 2

Escolhendo um vetor genérico v=(x,y,z), pela definição dada temos\r
1cdot(x,y,z)=(0,0,0) \r
Para que 1cdot v=v valesse, seria necessário (0,0,0)=(x,y,z) para todo (x,y,z), o que só ocorre se v for o vetor nulo.

Resposta

R^3 com essas operações não é espaço vetorial, pois falha a propriedade de identidade do escalar: não existe escalar neutro que satisfaça 1cdot v=v para todos os v.

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