Questão 0.6. Verifique se os conjuntos abaixo são subespaços vetoriais dos espaços vetoriais dados:
V=R^2 e W=(x, y) in R^2: y=x+1

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto W=(x,y)inR^2:y=x+1 é subespaço vetorial de V=R^2. O conteúdo é subespaços vetoriais, e vamos usar o teste de subespaço (incluir o zero, fechamento em soma e em multiplicação por escalar).

Passo 2

Recapitulando, um subconjunto Wsubset V é subespaço de V se e somente se:
  1. 0=(0,0)in W,
  2. para quaisquer w1,w2in W, w1+w2in W,
  3. para todo alphainR e win W, alpha,win W.

Passo 3

Verificamos a condição do vetor zero. Se 0=(0,0)in W então deve valer
0 = 0 + 1,
mas 0neq1. Logo 0notin W. Falha já no requisito 1, o que impede W de ser subespaço.

Passo 4

Para ilustrar a falta de fechamento em soma, considere (0,1)in W e (1,2)in W (pois 1=0+1 e 2=1+1). Então
(0,1)+(1,2) = (1,3),
porém 3neq1+1=2, de modo que (1,3)notin W.

Passo 5

De forma similar, na multiplicação por escalar, tome (0,1)in W e alpha=2. Então
2cdot(0,1) = (0,2),
mas 2neq0+1=1, logo (0,2)notin W.

Resposta

W não é subespaço vetorial de R^2.

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