Seja V=R^+=x in R: x>0. Considere em V as seguintes operações de adição e multiplicação por escalar:
x+y=x y e lambda cdot x=1
Verifique se V com essas operações é um espaço vetorial.

Passo 1

O enunciado define em V=R^+ as operações
x+y = x,y
e
lambdacdot x = 1
Para que (V,+,cdot) seja espaço vetorial sobre R, precisamos verificar os axiomas de grupo abeliano em (V,+) e os axiomas de compatibilidade da multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificação dos axiomas de (V,+):
  1. Fechamento: se x>0 e y>0 então x+y=xy>0, logo x+yin V.
  2. Associatividade: (x+y)+z = (xy)z = x(yz) = x+(y+z)
  3. Comutatividade: x+y = xy = yx = y+x
  4. Existência do elemento neutro 0V: queremos e+x=x, ou seja e,x=x para todo x. Daí e=1.
  5. Existência de inverso: dado x>0, busca-se y tal que x+y=1, isto é xy=1. Logo y=1/xin V.
Portanto (V,+) é um grupo abeliano, com neutro 1 e inverso de x igual a 1/x.

Passo 3

Verificação dos axiomas de multiplicação por escalar (exceto o da identidade):
  1. Fechamento: para todo lambdainR e xin V,
    lambdacdot x = 1>0, logo está em V.
  2. Distributividade em relação à soma de vetores: lambdacdot(x+y) = 1, lambdacdot x + lambdacdot y = 1 + 1 = 1cdot1 = 1, pois a soma vetorial é a multiplicação usual.
  3. Distributividade em relação à soma de escalares: (lambda+mu)cdot x = 1, lambdacdot x + mucdot x = 1 + 1 = 1
  4. Compatibilidade de escalares: (lambdamu)cdot x = 1, lambdacdot(mucdot x) = lambdacdot1 = 1
Todos esses axiomas fecham de forma trivial porque o resultado é sempre 1.

Passo 4

Falta agora o axioma da identidade escalar, que exige
1cdot x = xpara todo xin V
Mas pela definição dada ;1cdot x=1neq x sempre que xneq1. Logo esse axioma falha.

Resposta

V não é espaço vetorial, pois o axioma 1cdot x = x não é satisfeito.

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