Seja
. Considere em
as seguintes operações de adição e multiplicação por escalar:
Verifique se
com essas operações é um espaço vetorial.
Passo 1
O enunciado define em
as operações
e
Para que
seja espaço vetorial sobre
, precisamos verificar os axiomas de grupo abeliano em
e os axiomas de compatibilidade da multiplicação por escalar.
Passo 2
Verificação dos axiomas de
:
- Fechamento: se
e então , logo . - Associatividade:
- Comutatividade:
- Existência do elemento neutro
: queremos , ou seja para todo . Daí . - Existência de inverso: dado
, busca-se tal que , isto é . Logo .
Portanto
é um grupo abeliano, com neutro
e inverso de
igual a
.
Passo 3
Verificação dos axiomas de multiplicação por escalar (exceto o da identidade):
- Fechamento: para todo
e ,
, logo está em . - Distributividade em relação à soma de vetores:
pois a soma vetorial é a multiplicação usual. - Distributividade em relação à soma de escalares:
- Compatibilidade de escalares:
Todos esses axiomas fecham de forma trivial porque o resultado é sempre
.
Passo 4
Falta agora o axioma da identidade escalar, que exige
Mas pela definição dada
sempre que
. Logo esse axioma falha.