Questão 0.5. Mostre que o conjunto
é um espaço vetorial.
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos que
é um espaço vetorial sobre um corpo
. Para isso, precisamos definir em
uma adição e uma multiplicação escalar e verificar os axiomas de espaço vetorial: fechamento, associatividade e comutatividade da soma, existência de neutro e inverso aditivo, e as propriedades da multiplicação escalar.
Passo 2
Definimos para todo
:
Passo 3
Verificamos o fechamento, a comutatividade e a associatividade da soma. Como há apenas
em
, qualquer soma
resulta em
, que pertence a
. A comutatividade segue de
. A associatividade segue de
Passo 4
O elemento
serve de elemento neutro aditivo, pois
Ele também é seu próprio inverso aditivo, já que a única possibilidade de inverso de
é
satisfazendo
Passo 5
Verificamos as propriedades da multiplicação escalar:
Passo 6
Todos os axiomas de espaço vetorial são satisfeitos de forma trivial. O elemento zero do espaço é
, e
é justamente o espaço vetorial trivial.
Resposta
O conjunto
, munido das operações
e
para todo
, é o espaço vetorial trivial sobre
.