Questão 0.5. Mostre que o conjunto V=v é um espaço vetorial.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que V=v é um espaço vetorial sobre um corpo K. Para isso, precisamos definir em V uma adição e uma multiplicação escalar e verificar os axiomas de espaço vetorial: fechamento, associatividade e comutatividade da soma, existência de neutro e inverso aditivo, e as propriedades da multiplicação escalar.

Passo 2

Definimos para todo alpha,betainK:
v+v = v,
alphacdot v = v

Passo 3

Verificamos o fechamento, a comutatividade e a associatividade da soma. Como há apenas v em V, qualquer soma v+v resulta em v, que pertence a V. A comutatividade segue de v+v=v+v. A associatividade segue de
(v+v)+v = v+v = v = v+(v+v)

Passo 4

O elemento v serve de elemento neutro aditivo, pois
v+v = v
Ele também é seu próprio inverso aditivo, já que a única possibilidade de inverso de v é v satisfazendo
v+v = v

Passo 5

Verificamos as propriedades da multiplicação escalar:
(alphabeta)v = v = alpha(beta v),
1cdot v = v,
(alpha+beta)v = v = alpha v + beta v,
alpha(v+v) = v = alpha v + alpha v

Passo 6

Todos os axiomas de espaço vetorial são satisfeitos de forma trivial. O elemento zero do espaço é v, e V é justamente o espaço vetorial trivial.

Resposta

O conjunto V=v, munido das operações
v+v = v
e
alpha,v = v
para todo alphainK, é o espaço vetorial trivial sobre K.

Exercícios relacionados