Seja
. Considere em
as seguintes operações de adição e multiplicação por escalar:
Verifique se
com essas operações é um espaço vetorial.
Passo 1
Beleza, vamos analisar o exercício que você mandou. Temos o conjunto
, ou seja, todos os números reais menos o zero. As operações definidas são:
- Adição:
- Multiplicação por escalar:
O objetivo aqui é verificar se esse conjunto
, com essas operações, forma um espaço vetorial. Para isso, precisamos lembrar que um espaço vetorial deve satisfazer certas propriedades (axiomas) envolvendo essas operações. Vamos passo a passo conferir cada um desses axiomas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar rapidamente o que é um espaço vetorial. É um conjunto onde você pode somar vetores e multiplicar vetores por escalar, e essas operações devem seguir algumas regras específicas (como comutatividade, existência do elemento neutro, etc.). Se alguma dessas regras não for satisfeita, então o conjunto não é um espaço vetorial.
Passo 3
Vamos começar checando o elemento neutro da adição. Em um espaço vetorial, deve existir um elemento que, quando adicionado a qualquer vetor, não muda o vetor. Com a nossa definição de adição
, queremos encontrar um número
tal que
para todo
.
Substituindo na nossa operação:
Para isso ser verdadeiro para todo
, o
deve satisfazer
. Dividindo ambos os lados por
(lembrando que
), temos:
Então, o elemento neutro da nossa adição seria 1.
Passo 4
Agora, vamos verificar se todo elemento tem um inverso aditivo. Ou seja, para cada
, deve existir um
tal que
, onde
.
Usando nossa operação:
Resolvendo para
:
Como
,
também pertence a
. Então, todo elemento tem um inverso aditivo.
Passo 5
Vamos agora verificar a associatividade da adição. Precisamos que:
Aplicando nossa operação:
Ou seja:
Isso é verdade para todos os
, então a adição é associativa.
Passo 6
Vamos checar a comutatividade da adição:
Usando a operação:
Como a multiplicação de números reais é comutativa, essa propriedade é satisfeita.
Passo 7
Agora, vamos verificar a distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição vetorial:
Aplicando as definições:
E:
Então, temos:
Para que a distributividade seja válida, precisaríamos que
, o que é verdadeiro, mas precisamos verificar todas as outras propriedades também.
Passo 8
Vamos verificar a distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares:
Usando as definições:
Para que isso seja verdadeiro para todo
, precisaríamos que
, o que não é verdade para todos
(por exemplo, para
,
).
Passo 9
Além disso, vamos verificar a compatibilidade da multiplicação por escalares:
Usando as definições:
Isso parece estar ok, mas já vimos que em uma das distribuições anteriores as propriedades não foram satisfeitas.
Passo 10
Por último, verifica-se que o escalar neutro deve satisfazer:
Usando a definição:
O que, no nosso caso, está correto.
Resposta
Apesar de algumas propriedades serem satisfeitas, a operação de multiplicação por escalar não cumpre todas as regras necessárias para que
seja um espaço vetorial. Em particular, a distributividade em relação à adição de escalares falha. Portanto,
com as operações definidas não é um espaço vetorial.