Seja V=R-0=x in R: x neq 0. Considere em V as seguintes operações de adição e multiplicação por escalar:
x+y=x y e lambda cdot x=x
Verifique se V com essas operações é um espaço vetorial.

Passo 1

Beleza, vamos analisar o exercício que você mandou. Temos o conjunto V = R - 0 , ou seja, todos os números reais menos o zero. As operações definidas são:
  • Adição: x + y = xy
  • Multiplicação por escalar: lambda cdot x = x
O objetivo aqui é verificar se esse conjunto V , com essas operações, forma um espaço vetorial. Para isso, precisamos lembrar que um espaço vetorial deve satisfazer certas propriedades (axiomas) envolvendo essas operações. Vamos passo a passo conferir cada um desses axiomas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar rapidamente o que é um espaço vetorial. É um conjunto onde você pode somar vetores e multiplicar vetores por escalar, e essas operações devem seguir algumas regras específicas (como comutatividade, existência do elemento neutro, etc.). Se alguma dessas regras não for satisfeita, então o conjunto não é um espaço vetorial.

Passo 3

Vamos começar checando o elemento neutro da adição. Em um espaço vetorial, deve existir um elemento que, quando adicionado a qualquer vetor, não muda o vetor. Com a nossa definição de adição x + y = xy , queremos encontrar um número e tal que x + e = x para todo x in V .
Substituindo na nossa operação:
x + e = x e = x
Para isso ser verdadeiro para todo x , o e deve satisfazer x e = x . Dividindo ambos os lados por x (lembrando que x neq 0 ), temos:
e = 1
Então, o elemento neutro da nossa adição seria 1.

Passo 4

Agora, vamos verificar se todo elemento tem um inverso aditivo. Ou seja, para cada x in V , deve existir um y in V tal que x + y = e , onde e = 1 .
Usando nossa operação:
x + y = xy = 1
Resolvendo para y :
y = 1x
Como x neq 0 , y também pertence a V . Então, todo elemento tem um inverso aditivo.

Passo 5

Vamos agora verificar a associatividade da adição. Precisamos que:
(x + y) + z = x + (y + z)
Aplicando nossa operação:
(xy)z = x(yz)
Ou seja:
xyz = xyz
Isso é verdade para todos os x, y, z in V , então a adição é associativa.

Passo 6

Vamos checar a comutatividade da adição:
x + y = y + x
Usando a operação:
xy = yx
Como a multiplicação de números reais é comutativa, essa propriedade é satisfeita.

Passo 7

Agora, vamos verificar a distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição vetorial:
lambda cdot (x + y) = lambda cdot x + lambda cdot y
Aplicando as definições:
lambda cdot (xy) = x + y
E:
lambda cdot x + lambda cdot y = x y
Então, temos:
lambda cdot (xy) = xy
x + y = xy
Para que a distributividade seja válida, precisaríamos que xy = xy , o que é verdadeiro, mas precisamos verificar todas as outras propriedades também.

Passo 8

Vamos verificar a distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares:
(lambda + mu) cdot x = lambda cdot x + mu cdot x
Usando as definições:
(lambda + mu) cdot x = x
lambda cdot x + mu cdot x = x x = x^2
Para que isso seja verdadeiro para todo x , precisaríamos que x = x^2 , o que não é verdade para todos x in V (por exemplo, para x = 2 , 2 neq 4 ).

Passo 9

Além disso, vamos verificar a compatibilidade da multiplicação por escalares:
lambda cdot (mu cdot x) = (lambda mu) cdot x
Usando as definições:
lambda cdot (mu cdot x) = lambda cdot x = x
(lambda mu) cdot x = x
Isso parece estar ok, mas já vimos que em uma das distribuições anteriores as propriedades não foram satisfeitas.

Passo 10

Por último, verifica-se que o escalar neutro deve satisfazer:
1 cdot x = x
Usando a definição:
1 cdot x = x
O que, no nosso caso, está correto.

Resposta

Apesar de algumas propriedades serem satisfeitas, a operação de multiplicação por escalar não cumpre todas as regras necessárias para que V seja um espaço vetorial. Em particular, a distributividade em relação à adição de escalares falha. Portanto, V = R - 0 com as operações definidas não é um espaço vetorial.

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