Resolva a equação diferencial dada por separação de variável.
Resolva o PVI:
\frac{d x}{d y}=4\left(x^{2}+1\right), \quad x(\pi / 4)=1

Passo 1

O enunciado nos dá o PVI
\frac{dx}{dy} = 4\bigl(x^2+1\bigr),
com condição inicial x\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr)=1. Vamos resolver por separação de variáveis.

Passo 2

Para separar variáveis, escrevemos
\frac{1}{x^2+1}\,\frac{dx}{dy} = 4
e, portanto,
\frac{dx}{x^2+1} = 4\,dy.

Passo 3

Integramos ambos os lados:
\int \frac{dx}{x^2+1} = \int 4\,dy
o que leva a
\arctan(x) = 4y + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 4

Aplicando a condição inicial y=\tfrac{\pi}{4}, x=1:
\arctan(1) = \frac{\pi}{4} = 4\cdot\frac{\pi}{4} + C = \pi + C
Logo
C = \frac{\pi}{4} - \pi = -\frac{3\pi}{4}.

Passo 5

Substituindo C na solução geral, temos
\arctan(x) = 4y - \frac{3\pi}{4}.
Isolando x, obtemos
x(y) = \tan\!\bigl(4y - \tfrac{3\pi}{4}\bigr).

Resposta

x(y) = \tan\!\bigl(4y - \tfrac{3\pi}{4}\bigr).

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