\left(x+y e^{x / y}\right) d x-x e^{x / y} d y=0, \quad y(1)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
\bigl(x + y\,e^{x/y}\bigr)\,dx \;-\; x\,e^{x/y}\,dy \;=\; 0
com a condição inicial y(1)=0.
Este é um problema de EDO de primeira ordem, não exata à primeira vista, e vamos usar um fator integrante de x para torná-la exata.

Passo 2

Escrevendo
M(x,y)=x + y\,e^{x/y}, \quad N(x,y)=-x\,e^{x/y},
vemos
\frac{\partial M}{\partial y} =e^{x/y}\bigl(1 - \tfrac{x}{y}\bigr), \quad \frac{\partial N}{\partial x} =-e^{x/y}\bigl(1 + \tfrac{x}{y}\bigr).
Logo \partial M/\partial y\neq\partial N/\partial x e a equação não é exata.
Calculamos
\frac{\partial M/\partial y - \partial N/\partial x}{N} =\frac{2\,e^{x/y}}{-x\,e^{x/y}} =-\frac{2}{x},
que depende só de x. Assim existe fator integrante \mu(x) com
\frac{d\mu}{dx}/\mu=-2/x \quad\Longrightarrow\quad \mu(x)=x^{-2}.

Passo 3

Multiplicamos toda a equação por x^{-2}, obtendo
\Bigl(\tfrac1{x}+\tfrac{y}{x^2}e^{x/y}\Bigr)\,dx \;+\; \Bigl(-\tfrac{e^{x/y}}{x}\Bigr)\,dy \;=\;0,
que é exata.
Procuramos uma função potencial \varphi(x,y) tal que
\phi_x=\frac1{x}+\frac{y}{x^2}e^{x/y}, \quad \phi_y=-\frac{e^{x/y}}{x}.
Integrando \phi_x em relação a x:
\varphi(x,y) =\int\!\frac{dx}{x} +y\int x^{-2}e^{x/y}\,dx =\ln|x| +y\Bigl[-\frac{e^{x/y}}{x/y}+\Ei\bigl(\tfrac{x}{y}\bigr)\Bigr] +H(y),
onde \Ei(t)=\displaystyle\int_{-\infty}^t\frac{e^s}{s}\,ds é a integral exponencial.
Observando \phi_y força H'(y)=0, então H é constante.

Passo 4

A solução geral implícita é
\ln|x| \;-\; \frac{y\,e^{x/y}}{x} \;+\; \Ei\!\bigl(\tfrac{x}{y}\bigr) \;=\; C.

Passo 5

Para impor y(1)=0 teríamos de avaliar o lado esquerdo em (x,y)=(1,0). Mas aí \tfrac{x}{y}\to+\infty, e tanto \Ei(x/y) quanto \tfrac{y\,e^{x/y}}{x} divergem, o que impede ajustar um C finito. Concluímos que não existe solução (regular) que satisfaça y(1)=0.

Resposta

Não há solução da EDO que passe por (x,y)=(1,0). A solução geral implícita é
\ln|x| \;-\;\frac{y\,e^{x/y}}{x} \;+\;\Ei\!\bigl(\tfrac{x}{y}\bigr) \;=\;C.

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