Considere em R^2 os vetores u, v, w definidos abaixo.
u=2 i+1 j, v=3 i+2 j, w=4 i-j
Calcule:
d(u, w)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos dá três vetores no plano R^2: u, v e w. Mas o que a gente precisa calcular é a distância entre os vetores u e w, representada por d(u, w). Para isso, vamos usar o conceito de distância Euclidiana entre dois pontos/vetores no plano.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as componentes dos vetores u e w:
  • u = 2i + 1j, ou seja, u = (2, 1)
  • w = 4i - 1j, ou seja, w = (4, -1)

Passo 3

A distância Euclidiana entre dois vetores u = (ux, uy) e w = (wx, wy) é dada pela fórmula:
d(u, w) = raiz(wx - ux)^2 + (wy - uy)^2
Essa fórmula é essencialmente o Teorema de Pitágoras aplicado no plano.

Passo 4

Vamos aplicar os valores dos vetores u e w na fórmula:
d(u, w) = raiz(4 - 2)^2 + (-1 - 1)^2

Passo 5

Calculando as diferenças nas componentes:
4 - 2 = 2 -1 - 1 = -2
Agora, elevamos ao quadrado cada resultado:
2^2 = 4 (-2)^2 = 4

Passo 6

Somamos os resultados quadrados:
4 + 4 = 8

Passo 7

Finalmente, tiramos a raiz quadrada dessa soma para encontrar a distância:
d(u, w) = raiz8 = 2raiz2

Resposta

A distância entre os vetores u e w é 2raiz2 unidades.

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