Questão 2) Encontre a área delimitada pelas retas x=1 e x=4, pelo gráfico da função f(x)=x^2+4 e pela reta tangente ao gráfico no ponto x=3

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que encontrar a área delimitada pelas retas verticais x = 1 e x = 4 , pelo gráfico da função f(x) = x^2 + 4 e pela reta tangente ao gráfico dessa função no ponto onde x = 3 . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, como derivadas para encontrar a reta tangente, e integrais para calcular a área entre as curvas.

Passo 2

Vamos começar encontrando a reta tangente ao gráfico de f(x) no ponto onde x = 3 . Para isso, precisamos calcular a derivada de f(x) para obter a inclinação da tangente nesse ponto.
A função dada é f(x) = x^2 + 4 . A derivada de f(x) em relação a x é:
f'(x) = 2x
No ponto x = 3 , a inclinação da tangente é:
f'(3) = 2 times 3 = 6

Passo 3

Agora, vamos encontrar a equação da reta tangente. Sabemos que a reta tangente passa pelo ponto (3, f(3)) . Calculando f(3) :
f(3) = 3^2 + 4 = 9 + 4 = 13
Portanto, o ponto de tangência é (3, 13) . Com a inclinação m = 6 e o ponto (3, 13) , podemos usar a forma ponto-inclinação da equação da reta:
y - y1 = m(x - x1)
Substituindo:
y - 13 = 6(x - 3)
Simplificando:
y = 6x - 18 + 13
y = 6x - 5
Então, a equação da reta tangente é y = 6x - 5 .

Passo 4

Agora que temos todas as equações que delimitam a área que queremos encontrar, podemos visualizar as curvas envolvidas:
  • x = 1 e x = 4 : retas verticais
  • f(x) = x^2 +4 : parábola
  • y = 6x -5 : reta tangente
Precisamos determinar os pontos de interseção entre a parábola e a reta tangente para saber os limites da nossa área.
Igualando x^2 + 4 = 6x - 5 :
x^2 - 6x + 9 = 0
Resolvendo a equação quadrática:
x = 6 pm raiz(-6)^2 - 4 times 1 times 92 times 1 = 6 pm raiz36 - 362 = 62 = 3
Portanto, as curvas se intersectam apenas no ponto x = 3 , confirmando que a reta é tangente à parábola nesse ponto.

Passo 5

Para calcular a área delimitada, vamos dividir o intervalo de x = 1 a x = 4 em duas partes:
  1. De x = 1 a x = 3 : a parte acima é a reta tangente y = 6x -5 e a parte inferior é a parábola y = x^2 +4 .
  2. De x = 3 a x = 4 : a parte superior é a parábola y = x^2 +4 e a parte inferior é a reta tangente y = 6x -5 .
A área total será a soma dessas duas integrais.

Passo 6

Calculando a primeira parte da área, de x = 1 a x = 3 :
A1 = integral1^3 ( (6x - 5) - (x^2 + 4) ) dx = integral1^3 (-x^2 +6x -9) dx
Integrando termo a termo:
A1 = ( -x^33 + 3x^2 - 9x ) |1^3
Calculando em x =3 :
-273 + 3 times 9 - 9 times 3 = -9 + 27 - 27 = -9
Calculando em x =1 :
-13 + 3 times 1 - 9 times 1 = -13 + 3 -9 = -13 -6 = -193
Subtract:
A1 = (-9) - ( -193 ) = -9 + 193 = -273 + 193 = -83
Como a área não pode ser negativa, consideramos o valor absoluto:
A1 = 83

Passo 7

Agora, calculando a segunda parte da área, de x = 3 a x =4 :
A2 = integral3^4 ( (x^2 +4) - (6x -5) ) dx = integral3^4 (x^2 -6x +9) dx
Integrando termo a termo:
A2 = ( x^33 - 3x^2 + 9x ) |3^4
Calculando em x =4 :
643 - 3 times 16 + 9 times 4 = 643 - 48 + 36 = 643 -12 = 64 - 363 = 283
Calculando em x =3 :
273 - 3 times 9 + 9 times 3 = 9 - 27 + 27 = 9
Subtract:
A2 = 283 -9 = 283 - 273 = 13

Passo 8

Finalmente, somamos as duas áreas encontradas:
Atotal = A1 + A2 = 83 + 13 = 93 = 3

Resposta

A área delimitada pelas retas x = 1 e x = 4 , pela função f(x) = x^2 + 4 e pela reta tangente no ponto x =3 é igual a 3 unidades de área.

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