Questão 2) Encontre a área delimitada pelas retas e , pelo gráfico da função e pela reta tangente ao gráfico no ponto
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que encontrar a área delimitada pelas retas verticais e , pelo gráfico da função e pela reta tangente ao gráfico dessa função no ponto onde . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, como derivadas para encontrar a reta tangente, e integrais para calcular a área entre as curvas.
Passo 2
Vamos começar encontrando a reta tangente ao gráfico de no ponto onde . Para isso, precisamos calcular a derivada de para obter a inclinação da tangente nesse ponto.
A função dada é . A derivada de em relação a é:
No ponto , a inclinação da tangente é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a equação da reta tangente. Sabemos que a reta tangente passa pelo ponto . Calculando :
Portanto, o ponto de tangência é . Com a inclinação e o ponto , podemos usar a forma ponto-inclinação da equação da reta:
Substituindo:
Simplificando:
Então, a equação da reta tangente é .
Passo 4
Agora que temos todas as equações que delimitam a área que queremos encontrar, podemos visualizar as curvas envolvidas:
e : retas verticais
: parábola
: reta tangente
Precisamos determinar os pontos de interseção entre a parábola e a reta tangente para saber os limites da nossa área.
Igualando :
Resolvendo a equação quadrática:
Portanto, as curvas se intersectam apenas no ponto , confirmando que a reta é tangente à parábola nesse ponto.
Passo 5
Para calcular a área delimitada, vamos dividir o intervalo de a em duas partes:
De a : a parte acima é a reta tangente e a parte inferior é a parábola .
De a : a parte superior é a parábola e a parte inferior é a reta tangente .
A área total será a soma dessas duas integrais.
Passo 6
Calculando a primeira parte da área, de a :
Integrando termo a termo:
Calculando em x =3 :
-273 + 3 times 9 - 9 times 3 = -9 + 27 - 27 = -9
Calculando em x =1 :
-13 + 3 times 1 - 9 times 1 = -13 + 3 -9 = -13 -6 = -193