Um modelo, em escala 1: 5, de uma bomba grande é usado para testar uma mudança proposta. A bomba protótipo produz uma elevação de pressão de 600 kPa e uma vazão em massa de 800 \mathrm{~kg} / \mathrm{s}. Determine a vazão em massa a ser usada no modelo e a elevação da pressão esperada.
(a) tanto no modelo quanto no protótipo usa-se água à mesma temperatura;
(b) a água no estudo do modelo está a 30^{\circ} \mathrm{C} e a água do protótipo, a 15^{\circ} \mathrm{C}.

Passo 1

O enunciado trata de um modelo geométrico (escala linear 1:5) de uma bomba protótipo e pede a vazão em massa e a elevação de pressão no modelo, usando leis de semelhança dinâmica. Em bombeamento, sob condição de semelhança geométrica e mesmo regime de velocidade de rotação N, valem as relações
\frac{Q_m}{Q_p}=\Bigl(\frac{D_m}{D_p}\Bigr)^3 \quad\text{e}\quad \frac{\Delta p_m}{\Delta p_p}=\frac{\rho_m}{\rho_p}\,\Bigl(\frac{D_m}{D_p}\Bigr)^2,
onde Q é a vazão volumétrica e \Delta p a elevação de pressão; como a água é praticamente incompressível, usamos \dot m=\rho\,Q para obter a vazão em massa.

Passo 2

A escala linear é
\lambda=\frac{D_m}{D_p}=\frac15.

Passo 3

Escrevendo as fórmulas em termos de vazão mássica \dot m=\rho\,Q, temos
\dot m_m=\dot m_p\;\lambda^3 \quad\text{e}\quad \Delta p_m=\Delta p_p\;\frac{\rho_m}{\rho_p}\;\lambda^2.

Passo 4

(a) para mesma temperatura \rho_m=\rho_p, logo
\dot m_m=800\;\frac1{5^3}=800\;\frac1{125}=6{,}4\;\mathrm{kg/s},
\Delta p_m=600\;\frac1{5^2}=600\;\frac1{25}=24\;\mathrm{kPa}.

Passo 5

(b) para água a 30^\circ\mathrm C no modelo e 15^\circ\mathrm C no protótipo, usamos as densidades aproximadas \rho_m=995{,}65\;\mathrm{kg/m^3} e \rho_p=999{,}10\;\mathrm{kg/m^3}. Assim
\dot m_m =800\;\frac{\rho_m}{\rho_p}\;\frac1{125} =800\;\frac{995{,}65}{999{,}10}\;\frac1{125} \approx6{,}38\;\mathrm{kg/s},
\Delta p_m =600\;\frac{\rho_m}{\rho_p}\;\frac1{25} =600\;\frac{995{,}65}{999{,}10}\;\frac1{25} \approx23{,}9\;\mathrm{kPa}.

Resposta

(a) \dot m_m=6{,}4\;\mathrm{kg/s}, \Delta p_m=24\;\mathrm{kPa}
(b) \dot m_m\approx6{,}38\;\mathrm{kg/s}, \Delta p_m\approx23{,}9\;\mathrm{kPa}

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