P(lambda x, lambda y)Q(lambda x, lambda y)=P(x, y)Q(x, y)
para todo lambda neq 0.
. Ela pode reduzir à forma
y^prime=f(yx)
por meio da substituição y=u x.
Resolve a equação diferencial y^prime=e^yx+yx fazendo uma substituição de variável.
Sugestão: faça y=u x
R. y(x)=-x ln (ln (Cx))

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial y'=e^y/x+y/x usando a substituição y=ux, característica de equações homogêneas, reduzindo-a a variáveis separáveis.

Passo 2

Fazendo y=ux temos y'=u+x,du/dx. Substituindo em y'=e^y/x+y/x vem
u + xdudx = e^u + u
Cancelamos u dos dois lados e obtemos
xdudx = e^u

Passo 3

Separamos variáveis:
e^-u ,du = dxx
Integrando ambos os lados:
integral e^-u ,du = integral dxx Longrightarrow -e^-u = ln|x| + C1
Reescrevendo a constante:
e^-u = -ln|x| - C1 = lnl(Cxr)

Passo 4

Tomando logaritmo e isolando u:
-e^-u = lnl(Cxr) Longrightarrow -u = lnl(lntfracCxr) Longrightarrow u = -lnl(lntfracCxr)
Como y=ux, a solução geral é final_answer

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