P(x, y) d yd x+Q(x, y)=R(x, y)
em que P(x, y), Q(x, y) e R(x, y) são funções de duas variáveis.
  1. Transformação inicial
    Definimos:
u=phi(x, y)
em que phi(x, y) é uma função que descreve as curvas características.
A equação diferencial de Lagrange pode ser reescrita como:
d xP=d yQ=d uR
  1. Resolução das características
    Resolvemos separadamente as equações:
& d xP=d uR & d yQ=d uR
Isso gera duas integrais, cujas soluções fornecem:
phi1(x, y)=c1 e phi2(x, y)=c2
As soluções gerais da equação diferencial são obtidas combinando phi1 e phi2 :
F(phi1, phi2)=0
onde F é uma função arbitrária.

Passo 1

O enunciado apresenta a equação diferencial de Lagrange na forma P(x,y),dydx+Q(x,y)=R(x,y). O conteúdo é o método das características para resolver equações de primeira ordem em que as funções P, Q e R dependem de x e y. Vamos precisar usar transformações de variáveis e integrar relações diferenciais proporcionais.

Passo 2

Definimos a nova variável u=phi(x,y), onde phi(x,y) descreve as curvas características. A partir da equação de Lagrange obtemos a relação proporcional:
dxP(x,y)=dyQ(x,y)=duR(x,y)

Passo 3

Para resolver, separamos duas igualdades e integramos:
dxP(x,y)=duR(x,y)edyQ(x,y)=duR(x,y)
Cada uma gera uma integral que fornece duas primeiras integrais do sistema:
phi1(x,y)=c1ephi2(x,y)=c2

Passo 4

Por fim, combinamos essas integrais para obter a solução geral da equação diferencial como uma relação arbitrária entre phi1 e phi2.

Resposta

A solução geral é dada por Fl(phi1(x,y),,phi2(x,y)r)=0, onde F é uma função arbitrária.

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