em que
e
são funções de duas variáveis.
- Transformação inicial
Definimos:
em que
é uma função que descreve as curvas características.
A equação diferencial de Lagrange pode ser reescrita como:
- Resolução das características
Resolvemos separadamente as equações:
Isso gera duas integrais, cujas soluções fornecem:
As soluções gerais da equação diferencial são obtidas combinando
e
:
onde
é uma função arbitrária.
Definimos:
A equação diferencial de Lagrange pode ser reescrita como:
Resolvemos separadamente as equações:
Passo 1
O enunciado apresenta a equação diferencial de Lagrange na forma
. O conteúdo é o método das características para resolver equações de primeira ordem em que as funções
,
e
dependem de
e
. Vamos precisar usar transformações de variáveis e integrar relações diferenciais proporcionais.
Passo 2
Definimos a nova variável
, onde
descreve as curvas características. A partir da equação de Lagrange obtemos a relação proporcional:
Passo 3
Para resolver, separamos duas igualdades e integramos:
Cada uma gera uma integral que fornece duas primeiras integrais do sistema:
Passo 4
Por fim, combinamos essas integrais para obter a solução geral da equação diferencial como uma relação arbitrária entre
e
.
Resposta
A solução geral é dada por
, onde
é uma função arbitrária.