Considere um recipiente de volume 250 \mathrm{~cm}^{3} dividido em dois compartimentos de tamanho igual. No compartimento da esquerda, há argônio a 100 kPa e 0^{\circ} \mathrm{C}; no compartimento da direita, há néon na mesma temperatura e pressão. Suponha que os gases sejam perfeitos.
Calcule a energia de Gibbs de mistura quando a partição é removida. (b) )
(-17,34 \mathrm{~J})

Passo 1

O enunciado pede para calcular a energia de Gibbs de mistura (ΔG_mix) quando a partição é removida. Informações dadas:
  • Volume total do recipiente: V_{\text{total}}=250\\ \mathrm{cm}^3.
  • Recipiente dividido em dois compartimentos de mesmo tamanho, logo cada um tem volume V_1=V_2=\dfrac{250}{2}=125\\ \mathrm{cm}^3.
  • No compartimento da esquerda: argônio a 100\\ \mathrm{kPa} e 0^\circ\mathrm{C}.
  • No compartimento da direita: néon nas mesmas condições 100\\ \mathrm{kPa} e 0^\circ\mathrm{C}.
  • Gases são ideais (perfeitos).
    Pergunta explícita: calcular a energia de Gibbs de mistura quando a partição é removida (ΔG_mix).

Passo 2

Entendendo fisicamente o que acontece e por que podemos usar a fórmula padrão:
  • Ao remover a partição, cada gás expande para ocupar o volume total; como ambos os lados tinham a mesma pressão, temperatura e volumes iguais, ambos os gases têm o mesmo número de mols iniciais.
  • Depois da mistura, a temperatura é a mesma ( 0^\circ\mathrm{C}) e a pressão total permanece 100\\ \mathrm{kPa} (verificação no passo 4).
  • Para gases ideais, a mudança livre de Gibbs pela mistura ideal é dada por
\Delta G_{\text{mix}} = \sum_i n_i \, RT \ln x_i,
onde n_i é o número de mols do componente i, R é a constante universal dos gases, T a temperatura absoluta e x_i a fração molar final do componente i. Vou explicar e justificar essa fórmula nos próximos passos.

Passo 3

Derivação curta e didática da fórmula \Delta G_{\text{mix}}=\sum_i n_i RT\ln x_i (sem pular etapas):
  • A energia livre de Gibbs total para uma mistura é G=\sum_i n_i \mu_i, onde \mu_i é o potencial químico do componente i.
  • Para um gás ideal, o potencial químico a temperatura T e pressão parcial p_i é
\mu_i(T,p_i)=\mu_i^\circ(T)+RT\ln\!\left(\dfrac{p_i}{p^\circ}\right),
onde \mu_i^\circ(T) é o potencial químico padrão (dependente só de T) e p^\circ é uma pressão de referência.
  • Na mistura ideal, a pressão parcial é p_i=x_i p, com x_i a fração molar e p a pressão total.
  • Assim, após mistura:
\mu_i^{\text{(final)}}=\mu_i^\circ+RT\ln\!\left(\dfrac{x_i p}{p^\circ}\right)=\mu_i^\circ+RT\ln\!\left(\dfrac{p}{p^\circ}\right)+RT\ln x_i.
  • Antes da mistura, cada componente estava puro num compartimento à mesma pressão p, então seu potencial químico inicial era
\mu_i^{\text{(inicial)}}=\mu_i^\circ+RT\ln\!\left(\dfrac{p}{p^\circ}\right).
  • A diferença do potencial químico do componente i ao misturar é então
\mu_i^{\text{(final)}}-\mu_i^{\text{(inicial)}}=RT\ln x_i.
  • Portanto a variação total da energia livre ao misturar é
\Delta G_{\text{mix}}=\sum_i n_i\left(\mu_i^{\text{(final)}}-\mu_i^{\text{(inicial)}}\right)=\sum_i n_i RT\ln x_i.
Observação importante: \ln x_i\le0 quando 0<x_i\le1, então \Delta G_{\text{mix}}\le0 (mistura espontânea e redução de G).

Passo 4

Calcular os números de mols n_1 e n_2 iniciais (um para argônio e outro para néon). Começo convertendo volumes para SI:
  • Cada compartimento tem V_1=125\\ \mathrm{cm}^3 = 125\times10^{-6}\\ \mathrm{m}^3 = 1,25\times10^{-4}\\ \mathrm{m}^3. Em TeX:
V_1=1,25\times10^{-4}\\ \mathrm{m}^3.
  • Pressão p=100\\ \mathrm{kPa}=100{,}0\times10^{3}\\ \mathrm{Pa}=1,00\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}.
  • Temperatura T=0^\circ\mathrm{C}=273,15\\ \mathrm{K}.
    Usamos a equação dos gases ideais para cada compartimento puro:
n_i=\dfrac{pV_1}{RT}.
Substituindo valores (com R=8{,}314462618\\ \mathrm{J\,mol^{-1}K^{-1}}):
n_i=\dfrac{1{,}00\times10^{5}\times 1{,}25\times10^{-4}}{8{,}314462618\times 273{,}15}.

Passo 5

Fazendo as contas para n_i:
  • Numerador: pV_1=1{,}00\times10^{5}\times 1{,}25\times10^{-4}=12{,}5.
  • Denominador: R T = 8{,}314462618\times 273{,}15 \approx 2271{,}095.
    Logo
n_i \approx \dfrac{12{,}5}{2271{,}095}\approx 0{,}0055034\\ \mathrm{mol}.
Logo o número de mols de argônio é n_{\text{Ar}}=0{,}0055034\\ \mathrm{mol} e o de néon é n_{\text{Ne}}=0{,}0055034\\ \mathrm{mol}.

Passo 6

Calcular o número total de mols e as frações molares finais:
  • Número total de mols:
n_{\text{tot}}=n_{\text{Ar}}+n_{\text{Ne}}=2\times 0{,}0055034\approx 0{,}0110068\\ \mathrm{mol}.
  • Frações molares finais (como ambos têm o mesmo número de mols):
x_{\text{Ar}}=x_{\text{Ne}}=\dfrac{n_i}{n_{\text{tot}}}=\dfrac{0{,}0055034}{0{,}0110068}=\tfrac{1}{2}=0{,}5.

Passo 7

Aplicar a fórmula da mistura:
\Delta G_{\text{mix}}=\sum_i n_i RT\ln x_i.
É conveniente reescrever somando sobre as espécies:
\Delta G_{\text{mix}}=n_{\text{Ar}}RT\ln x_{\text{Ar}}+n_{\text{Ne}}RT\ln x_{\text{Ne}}.
Como n_{\text{Ar}}=n_{\text{Ne}}=n_i e x_{\text{Ar}}=x_{\text{Ne}}=0{,}5:
\Delta G_{\text{mix}}= (n_{\text{Ar}}+n_{\text{Ne}})RT\ln(0{,}5)=n_{\text{tot}}RT\ln(0{,}5).

Passo 8

Calcular numericamente:
  • Já sabemos n_{\text{tot}}\approx 0{,}0110068\\ \mathrm{mol}, R=8{,}314462618\\ \mathrm{J\,mol^{-1}K^{-1}}, T=273{,}15\\ \mathrm{K}.
  • Primeiro calcule n_{\text{tot}}RT:
n_{\text{tot}}RT \approx 0{,}0110068\times 8{,}314462618\times 273{,}15 \approx 24{,}9977\\ \mathrm{J}.
  • Agora \ln(0{,}5)=-0{,}69314718056.
  • Assim:
\Delta G_{\text{mix}} \approx 24{,}9977\times(-0{,}69314718056)\approx -17{,}34\\ \mathrm{J}.

Passo 9

Interpretação rápida e incentivo:
  • O resultado é negativo ( \Delta G_{\text{mix}}<0), o que significa que a mistura espontaneamente reduz a energia livre — esperado para mistura de gases ideais.
  • Você pode usar esta mesma rotina (calcular n_i, achar x_i e aplicar \Delta G_{\text{mix}}=\sum n_i RT\ln x_i) para qualquer mistura ideal de gases numa situação análoga. Vai dar tudo certo! Força aí — você consegue na prova!

Resposta

-17,34\\ \mathrm{J}

Exercícios relacionados