Considere uma rede de servidores, composta por três servidores (S1, S2 e S3). Os clientes que chegam à rede podem escolher S1, S2 ou S3 com probabilidade 0.3,0.25 e 0.45 , respectivamente, sendo imediatamente admitidos para serviço.
Fruto de condições exteriores, cada servidor pode fazer uma pausa de serviço em qualquer instante, levando à perda do cliente. Assuma que S1 faz uma pausa com probabilidade 0.1, enquanto S2 e S3 fazem pausa com probabilidade 0.15 e 0.05 , respectivamente.
Sabendo que um cliente foi perdido, determine a probabilidade de ele ter escolhido o servidor S2.

Passo 1

Beleza, vamos recapitular o que o exercício pede. A gente tem três servidores (S₁, S₂ e S₃). Um cliente escolhe cada um deles com probabilidades
P(S₂mid perda) =P(S₂),P(perdamid S₂)P(perda) .
Depois dessa escolha, o servidor pode “pausar” o serviço e o cliente é perdido. As probabilidades de pausa são
.
O que a gente precisa encontrar é a probabilidade de o cliente ter escolhido S₂, dado que ele foi perdido.
Isso cai em “probabilidade condicional” e usa o Teorema de Bayes. Vamos precisar:
  1. A lei da probabilidade total para achar .
  2. O Teorema de Bayes:

Passo 2

Primeiro, calcula a probabilidade total de um cliente ser perdido, ou seja
P(perda) =sumi=1^3P(Si),P(perdamid Si) =0.3cdot0.1+0.25cdot0.15+0.45cdot0.05
Vamos fazer as contas:
  • P(perda)=0.03+0.0375+0.0225=0.09
Somando tudo:

Passo 3

Agora aplica o Teorema de Bayes pra achar P(S₂mid perda) =P(S₂),P(perdamid S₂)P(perda) =0.25cdot0.150.09 :
P(S₂mid perda)=0.03750.09approx0.4167
O numerador é , então

Resposta

A probabilidade de o cliente perdido ter escolhido o servidor é aproximadamente (ou 41,67%).

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