Considere a região
.
Qual é a área da superfície obtida pela revolução de
em torno do eixo
(esta superfície é conhecida como trombeta de Gabriel).
Qual é a área da superfície obtida pela revolução de
Passo 1
O enunciado pede a área da superfície obtida ao girar a região
em torno do eixo
.
O conteúdo aqui é o cálculo de área de superfície de revolução. Vamos usar a fórmula que dá a área gerada pela curva ,
, girando em torno do eixo
.
O conteúdo aqui é o cálculo de área de superfície de revolução. Vamos usar a fórmula que dá a área gerada pela curva
Passo 2
A fórmula para a área de superfície gerada pela rotação de
sobre o eixo
é
No nosso caso temos
,
e
Passo 3
Calculemos a derivada
Logo
e o integrando fica
Portanto a área é
Passo 4
Para verificar se essa integral converge, note que, para
,
Assim, para
grande o integrando comporta-se como
e
diverge (logaritmicamente). Logo a integral que define
também diverge.
Resposta
A área da superfície é infinita (diverge).