Considere a região R=(x, y): x >= 1,0 <= y <= 1 / x.
Qual é a área da superfície obtida pela revolução de R em torno do eixo x (esta superfície é conhecida como trombeta de Gabriel).

Passo 1

O enunciado pede a área da superfície obtida ao girar a região
R = (x,y)mid x>=1,;0<= y<=1/x
em torno do eixo x.
O conteúdo aqui é o cálculo de área de superfície de revolução. Vamos usar a fórmula que dá a área gerada pela curva y=f(x), xin[a,b], girando em torno do eixo x.

Passo 2

A fórmula para a área de superfície gerada pela rotação de y=f(x) sobre o eixo x é
S ;=; 2pi integrala^b f(x),raiz1 + l(f'(x)r)^2;dx
No nosso caso temos a=1, btoinfty e
f(x)=1x

Passo 3

Calculemos a derivada
f'(x) = -1x^2
Logo
1 + l(f'(x)r)^2 = 1 + 1x^4,
e o integrando fica
f(x),raiz1 + l(f'(x)r)^2 = 1x ,raiz1 + 1x^4 = raizx^4+1x^3
Portanto a área é
S ;=; 2pi integral1^infty raizx^4+1x^3;dx

Passo 4

Para verificar se essa integral converge, note que, para xtoinfty,
raizx^4+1x^3 sim x^2x^3 = 1x
Assim, para x grande o integrando comporta-se como tfrac1x e
integral1^infty1x,dx
diverge (logaritmicamente). Logo a integral que define S também diverge.

Resposta

A área da superfície é infinita (diverge).

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