Uma lâmina superficial
tem a forma de um cone dado por
e limitado pelo plano
. Em cada ponto de
, a densidade é proporcional à distância entre o ponto e o eixo
. Mostre que o momento de inércia em relação ao eixo
é igual a
, onde
é a massa de
.
Passo 1
O enunciado descreve uma lâmina superficial
na forma lateral de um cone definido por
limitado pelo plano
(onde
), e com densidade
proporcional à distância
ao eixo
. Queremos mostrar que o momento de inércia em relação ao eixo
satisfaz
onde
é a massa de
.
Passo 2
Como a densidade é proporcional a
, escrevemos
onde
é uma constante. A massa total e o momento de inércia em relação ao eixo
são dados por
Passo 3
Parametrizamos
em coordenadas polares pelo vetor posição
com
e
. O elemento de área é
Passo 4
Calculamos a massa:
Passo 5
Calculamos o momento de inércia:
Passo 6
Fazendo a razão, cancelam
,
e
:
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