Uma lâmina superficial S tem a forma de um cone dado por z=4-2 raizx^2+y^2 e limitado pelo plano xy. Em cada ponto de S, a densidade é proporcional à distância entre o ponto e o eixo z. Mostre que o momento de inércia em relação ao eixo z é igual a 125 M, onde M é a massa de S.

Passo 1

O enunciado descreve uma lâmina superficial S na forma lateral de um cone definido por
z = 4 - 2raizx^2 + y^2,
limitado pelo plano xy (onde z=0), e com densidade sigma proporcional à distância r ao eixo z. Queremos mostrar que o momento de inércia em relação ao eixo z satisfaz
Iz = 125M,
onde M é a massa de S.

Passo 2

Como a densidade é proporcional a r, escrevemos
sigma(r)=k,r,
onde k é uma constante. A massa total e o momento de inércia em relação ao eixo z são dados por
M = integralS sigma,dS, Iz = integralS r^2,dm = integralS r^2,sigma,dS

Passo 3

Parametrizamos S em coordenadas polares pelo vetor posição (rcostheta,rsintheta,4-2r) com 0<= r<=2 e 0<=theta<=2pi. O elemento de área é
dS = raiz1 + l(dzdrr)^2;r,dr,dtheta = raiz1+(-2)^2;r,dr,dtheta = raiz5;r,dr,dtheta

Passo 4

Calculamos a massa:
M = integral0^2pi!!integral0^2 k,r;dS = kraiz5integral0^2pi!!integral0^2 r^2,dr,dtheta = kraiz5,2piintegral0^2 r^2,dr = kraiz5,2pi 2^33 = 16piraiz53,k

Passo 5

Calculamos o momento de inércia:
Iz = integral0^2pi!!integral0^2 r^2,(k,r);dS = kraiz5,2piintegral0^2 r^4,dr = kraiz5,2pi2^55 = 64piraiz55,k

Passo 6

Fazendo a razão, cancelam k, pi e raiz5:
IzM = 64piraiz55,k16piraiz53,k = 64/516/3 = 645cdot316 = 125
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Iz = 125,M

Resposta

Iz = 125M.

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