integral0^infty x arctg(x)(1+x^2)^2 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria
I=integral0^inftyx,arctan(x)(1+x^2)^2,dx
Este é um problema de cálculo de integrais impróprias que se resolve bem usando integração por partes e, depois, uma substituição trigonométrica para avaliar uma integral racional.

Passo 2

Vamos aplicar integração por partes escolhendo
u=arctan(x), dv=x(1+x^2)^2,dx
Então
du=dx1+x^2, v=integralx(1+x^2)^2,dx=-12(1+x^2)

Passo 3

Pelos limites de 0 a infty o termo de contorno
l[u,vr]0^infty=limxtoinftyl(arctan(x)cdotl(-tfrac12(1+x^2)r)r)-0=0-0=0
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Passo 4

a integral se reduz a
I=-integral0^inftyv,du=integral0^infty12(1+x^2)^2,dx=12J,
onde
J=integral0^inftydx(1+x^2)^2

Passo 5

Para calcular J usamos a substituição trigonométrica
x=tantheta, dx=sec^2theta,dtheta,
com theta variando de 0 a pi/2. Então
J=integral0^pi/2sec^2theta(1+tan^2theta)^2,dtheta=integral0^pi/2cos^2theta,dtheta
E sabemos que
integral0^pi/2cos^2theta,dtheta=pi4

Passo 6

Portanto
J=pi4
e
I=12J=12cdotpi4=pi8

Resposta

pi8

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