Desintegração radioativa: os átomos de uma substância radioativa possuem a tendência natural a se desintegrarem, emitindo partículas e transformando-se em outra substância não radioativa. Assim sendo, com o passar do tempo, a quantidade de substância original diminui aumentando, conseqüentemente, a massa da nova substância transformada. Além disso, pode-se demonstrar que se no instante de tempo t=0 a quantidade de matéria radioativa é igual a M0, então no instante de tempo t >= 0 a quantidade dessa matéria será igual a M(t)=M0 e^-kt, sendo k uma constante positiva que depende da matéria radioativa considerada. Em geral, para o cálculo dessa constante k, é informado o tempo de meia vida da substância radioativa: esse é o tempo para que metade da substância radioativa se desintegre. A meia-vida de uma substância radioativa é um ano. Quanto tempo levará para que num corpo puro de 10 gramas desse material reste apenas um grama?

Passo 1

O enunciado trata da desintegração radioativa, cujo modelo é dado por
M(t) = M0 e^-kt,
onde M0 é a massa inicial, k>0 é a constante de decaimento e t o tempo em anos. Nos dão M0=10 g, a meia-vida T1/2=1 ano e perguntam o tempo t para que reste M(t)=1 g.

Passo 2

Para determinar k usamos a meia-vida: em t=T1/2=1 ano
M(T1/2) = tfracM02 = M0 e^-kT1/2
Dividindo por M0 e tomando logaritmo,
tfrac12 = e^-k, -k = ln!l(tfrac12r) = -ln2,
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k = ln2

Passo 3

Agora impomos M(t)=1 g no modelo com M0=10 g e k=ln2:
1 = 10,e^-(ln2),t
Dividindo por 10 e tomando logaritmo,
tfrac110 = e^-tln2, -tln2 = ln!l(tfrac110r) = -ln10,
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t = ln10ln2

Passo 4

Calculando numericamente,
t = ln10ln2 approx 2,30260,6931 approx 3,32

Resposta

Levará aproximadamente 3,32 anos para que a massa caia de 10 g para 1 g.

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