Desintegração radioativa: os átomos de uma substância radioativa possuem a tendência natural a se desintegrarem, emitindo partículas e transformando-se em outra substância não radioativa. Assim sendo, com o passar do tempo, a quantidade de substância original diminui aumentando, conseqüentemente, a massa da nova substância transformada. Além disso, pode-se demonstrar que se no instante de tempo
a quantidade de matéria radioativa é igual a
, então no instante de tempo
a quantidade dessa matéria será igual a
, sendo
uma constante positiva que depende da matéria radioativa considerada. Em geral, para o cálculo dessa constante
, é informado o tempo de meia vida da substância radioativa: esse é o tempo para que metade da substância radioativa se desintegre. Mostre que as constantes
e
, de uma mesma substância radioativa, estão relacionados pela expressão:
.
Passo 1
O enunciado nos dá o modelo de decaimento exponencial
onde
é a massa inicial,
é a constante de decaimento e
é o tempo de meia-vida – ou seja, o tempo necessário para que a massa caia a metade de
. Vamos usar essa definição de meia-vida para relacionar
e
.
Passo 2
Pela definição de meia-vida, em
temos
Substituindo no modelo,
Passo 3
Como
, podemos dividir ambos os lados por
, obtendo
Agora aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados:
Passo 4
Usamos a propriedade
. Assim,