Desintegração radioativa: os átomos de uma substância radioativa possuem a tendência natural a se desintegrarem, emitindo partículas e transformando-se em outra substância não radioativa. Assim sendo, com o passar do tempo, a quantidade de substância original diminui aumentando, conseqüentemente, a massa da nova substância transformada. Além disso, pode-se demonstrar que se no instante de tempo t=0 a quantidade de matéria radioativa é igual a M0, então no instante de tempo t >= 0 a quantidade dessa matéria será igual a M(t)=M0 e^-kt, sendo k uma constante positiva que depende da matéria radioativa considerada. Em geral, para o cálculo dessa constante k, é informado o tempo de meia vida da substância radioativa: esse é o tempo para que metade da substância radioativa se desintegre. Mostre que as constantes k e tm, de uma mesma substância radioativa, estão relacionados pela expressão: k=ln(2)tm.

Passo 1

O enunciado nos dá o modelo de decaimento exponencial
M(t)=M0 e^-k t,
onde M0 é a massa inicial, k>0 é a constante de decaimento e tm é o tempo de meia-vida – ou seja, o tempo necessário para que a massa caia a metade de M0. Vamos usar essa definição de meia-vida para relacionar k e tm.

Passo 2

Pela definição de meia-vida, em t=tm temos
M(tm)=M02
Substituindo no modelo,
M0 e^-k tm = M02

Passo 3

Como M0>0, podemos dividir ambos os lados por M0, obtendo
e^-k tm = tfrac12
Agora aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados:
-,k,tm = lnl(tfrac12r)

Passo 4

Usamos a propriedade ln(tfrac12)= -ln(2). Assim,
-,k,tm = -ln(2) Longrightarrow k,tm = ln(2) Longrightarrow k = ln(2)tm

Resposta

k = ln(2)tm

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