Considere a região R=(x, y): x >= 1,0 <= y <= 1 / x.
Calcule o volume do sólido obtido pela rotação de R em torno do eixo x.

Passo 1

O enunciado descreve a região
R=(x,y)mid x>=1,;0<= y<= tfrac1x
e pede o volume do sólido obtido ao girar R em torno do eixo x.
Conteúdo: método dos discos (ou anéis) para volumes de revolução.

Passo 2

Ao girar em torno do eixo x, cada fatia vertical em x gera um disco de raio externo
R(x)=1x
e raio interno r(x)=0. O volume V é dado por
V = integralx=1^infty pil[R(x)^2 - r(x)^2r],dx = pi integral1^infty l(1xr)^2 dx

Passo 3

Começamos calculando a integral imprópria
integral1^infty 1x^2,dx
A antiderivada de x^-2 é
integral x^-2 dx = -,x^-1 + C = -1x + C

Passo 4

Aplicando os limites de 1 a infty:
integral1^infty 1x^2,dx = limbtoinftyl[-1xr]1^b = limbtoinftyl(-1b + 11r) = 0 + 1 = 1

Passo 5

Logo o volume é
V = pi times 1 = pi

Resposta

pi

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