Considere a região que se encontra entre as curvas y=sec x e y=tg x de x=0 a x=pi2.
Determine o volume do sólido obtido pela rotação da região em torno do eixo x.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo x, da região limitada pelas curvas y=sec x (ramo superior) e y=tan x (ramo inferior) no intervalo 0<= x<= pi2. O conteúdo é cálculo de volume pelo método dos discos (ou anéis).

Passo 2

Para o método dos anéis, o volume é
V = pi integral0^pi2 l[l(sec xr)^2 - l(tan xr)^2r],dx

Passo 3

Usamos a identidade trigonométrica
sec^2x - tan^2x = 1,
valendo para todo x em que as funções estão definidas.

Passo 4

Substituindo na integral,
V = pi integral0^pi2 1,dx = pi l[xr]0^pi2 = picdotpi2

Resposta

V = pi^22

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