Seja
. Calcule
.
Passo 1
Beleza, então a gente tem o problema de calcular o limite de uma função vetorial
quando
se aproxima de 0. O conteúdo aqui envolve limites de funções vetoriais, e vamos precisar calcular os limites de cada componente da função individualmente para chegar na resposta final.
Passo 2
Vamos começar com o primeiro componente da função:
. Para encontrar o limite quando
tende a 0, simplesmente substituímos
por 0 na expressão:
Então, o limite do primeiro componente é
.
Passo 3
Agora, vamos para o segundo componente:
. Sabemos que a função cosseno é contínua em todos os pontos, então o limite dela quando
tende a 0 é apenas o valor da função em 0:
Portanto, o limite do segundo componente é
.
Passo 4
O terceiro componente é
. Aqui precisamos ter cuidado, porque quando
se aproxima de 0, o denominador está ficando muito pequeno, o que faz com que o valor de
cresça sem limite. Dependendo de como
se aproxima de 0 (pelo lado positivo ou negativo), o limite pode tender para
ou
:
Assim, o limite do terceiro componente não existe de forma finita.
Resposta
Como o limite do terceiro componente
não existe quando
tende a 0, o limite da função vetorial
também não existe.