Seja f(t)=(t^4-1, cos (t), 1t). Calcule lim t 0 f(t).

Passo 1

Beleza, então a gente tem o problema de calcular o limite de uma função vetorial f(t) = (t^4-1, cos(t), 1t) quando t se aproxima de 0. O conteúdo aqui envolve limites de funções vetoriais, e vamos precisar calcular os limites de cada componente da função individualmente para chegar na resposta final.

Passo 2

Vamos começar com o primeiro componente da função: t^4 - 1 . Para encontrar o limite quando t tende a 0, simplesmente substituímos t por 0 na expressão:
limt to 0 (t^4 - 1) = 0^4 - 1 = 0 - 1 = -1
Então, o limite do primeiro componente é -1.

Passo 3

Agora, vamos para o segundo componente: cos(t) . Sabemos que a função cosseno é contínua em todos os pontos, então o limite dela quando t tende a 0 é apenas o valor da função em 0:
limt to 0 cos(t) = cos(0) = 1
Portanto, o limite do segundo componente é 1.

Passo 4

O terceiro componente é 1t . Aqui precisamos ter cuidado, porque quando t se aproxima de 0, o denominador está ficando muito pequeno, o que faz com que o valor de 1t cresça sem limite. Dependendo de como t se aproxima de 0 (pelo lado positivo ou negativo), o limite pode tender para +infty ou -infty :
limt to 0 1t não existe, pois tende para +infty ou -infty ã
Assim, o limite do terceiro componente não existe de forma finita.

Resposta

Como o limite do terceiro componente 1t não existe quando t tende a 0, o limite da função vetorial f(t) = (t^4-1, cos(t), 1t) também não existe.

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