Seja
. Calcule
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função vetorial
e precisa calcular o limite quando
se aproxima de 0. Aqui, estamos trabalhando com limites de funções vetoriais, que envolvem calcular o limite de cada componente da função separadamente.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a primeira componente da função:
. Queremos encontrar
.
Sabemos que
é uma função polinomial simples. Quando
se aproxima de 0,
também se aproxima de
, porque qualquer número pequeno ao quadrado fica ainda menor.
Então,
.
Passo 3
Agora, vamos para a segunda componente:
. Precisamos calcular
.
Aqui, temos uma fração com polinômios no numerador e denominador. Para resolver esse limite, podemos simplesmente substituir
na expressão, já que o denominador não se anula nesse ponto.
Substituindo:
Portanto,
.
Passo 4
Agora, a terceira componente:
. Precisamos calcular
.
Sabemos que a função logarítmica natural,
, está definida apenas para
. À medida que
se aproxima de 0 pela direita (valores positivos próximos de zero),
vai para menos infinito.
Então,
.
Resposta
Combinando os limites das três componentes, temos: