Seja f(t)=(t^2, 8-t^34-t^2, ln (t)). Calcule lim t 0 f(t).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função vetorial f(t) = (t^2, 8-t^34-t^2, ln(t)) e precisa calcular o limite quando t se aproxima de 0. Aqui, estamos trabalhando com limites de funções vetoriais, que envolvem calcular o limite de cada componente da função separadamente.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a primeira componente da função: t^2 . Queremos encontrar limt to 0 t^2 .
Sabemos que t^2 é uma função polinomial simples. Quando t se aproxima de 0, t^2 também se aproxima de 0 , porque qualquer número pequeno ao quadrado fica ainda menor.
Então, limt to 0 t^2 = 0 .

Passo 3

Agora, vamos para a segunda componente: 8 - t^34 - t^2 . Precisamos calcular limt to 0 8 - t^34 - t^2 .
Aqui, temos uma fração com polinômios no numerador e denominador. Para resolver esse limite, podemos simplesmente substituir t = 0 na expressão, já que o denominador não se anula nesse ponto.
Substituindo:
8 - 0^34 - 0^2 = 84 = 2
Portanto, limt to 0 8 - t^34 - t^2 = 2 .

Passo 4

Agora, a terceira componente: ln(t) . Precisamos calcular limt to 0 ln(t) .
Sabemos que a função logarítmica natural, ln(t) , está definida apenas para t > 0 . À medida que t se aproxima de 0 pela direita (valores positivos próximos de zero), ln(t) vai para menos infinito.
Então, limt to 0^+ ln(t) = -infty .

Resposta

Combinando os limites das três componentes, temos:
limt to 0 f(t) = (0, , 2, , -infty)

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