Considere a região
. Determine uma relação entre o volume
do sólido obtido pela rotação de
em torno do eixo
e a área
da superfície obtida pela rotação do gráfico da catenária
, no intervalo
, em torno do eixo
.
(10) Obtenha a área da superfície obtida pela rotação em torno do eixo
da catenária
,
(10) Obtenha a área da superfície obtida pela rotação em torno do eixo
Passo 1
O enunciado define a região
e pede (i) uma relação entre o volume
do sólido obtido ao girar
em torno do eixo
e a área
da superfície obtida ao girar o gráfico de
,
; (ii) calcular
. Vamos usar o método dos discos para
e a fórmula de área de superfície de revolução para
.
Passo 2
Para o volume usamos o método dos discos: em cada
o raio do disco é
, logo
Passo 3
Para a área de superfície de revolução temos
Como
,
Passo 4
Comparando as fórmulas de
e
vemos que
logo
Passo 5
Para
Usando
,
Então
Resposta
A relação é
A área da superfície para
é