Considere a região R(L)=(x, y): 0 <= y <= cosh x,-L <= x <= L. Determine uma relação entre o volume V(L) do sólido obtido pela rotação de R(L) em torno do eixo x e a área A(L) da superfície obtida pela rotação do gráfico da catenária y=cosh x, no intervalo [-L, L], em torno do eixo x.
(10) Obtenha a área da superfície obtida pela rotação em torno do eixo x da catenária y=cosh x, x in[-1,1]

Passo 1

O enunciado define a região
R(L)=(x,y)colon 0<= y<= cosh x,;-L<= x<= L
e pede (i) uma relação entre o volume V(L) do sólido obtido ao girar R(L) em torno do eixo x e a área A(L) da superfície obtida ao girar o gráfico de y=cosh x, xin[-L,L]; (ii) calcular A(1). Vamos usar o método dos discos para V(L) e a fórmula de área de superfície de revolução para A(L).

Passo 2

Para o volume usamos o método dos discos: em cada x o raio do disco é y=cosh x, logo
V(L)=integral-L^Lpil(cosh xr)^2,dx

Passo 3

Para a área de superfície de revolução temos
A(L) =2piintegral-L^Lyraiz1+l(y'r)^2,dx =2piintegral-L^Lcosh xraiz1+sinh^2x,dx
Como raiz1+sinh^2x=cosh x,
A(L)=2piintegral-L^Lcosh^2x,dx

Passo 4

Comparando as fórmulas de V(L) e A(L) vemos que
V(L)=piintegral-L^Lcosh^2x,dx e A(L)=2piintegral-L^Lcosh^2x,dx,
logo
A(L)=2,V(L)

Passo 5

Para L=1
A(1)=2piintegral-1^1cosh^2x,dx
Usando cosh^2x=tfrac12l(1+cosh2xr),
integral-1^1cosh^2x,dx =12integral-1^1(1+cosh2x),dx =12l[2+tfracsinh2-sinh(-2)2r] =1+sinh22
Então
A(1)=2pil(1+sinh22r) =2pi+pisinh2 =pil(2+sinh2r)

Resposta

A relação é
A(L)=2,V(L)
A área da superfície para xin[-1,1] é
A(1)=pi,l(2+sinh2r)

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