Questão. (
) Calcule o limite, se existir, e caso não exista, explique por qué.
Passo 1
Vamos resolver o limite
. Neste exercício, trabalharemos com limites e funções trigonométricas. Precisaremos entender como o comportamento da função
afeta o limite, além de simplificar a expressão envolvendo a raiz quadrada.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da raiz quadrada:
.
Podemos fatorar
dentro da raiz:
Aqui, usamos a propriedade
e lembramos que
.
Passo 3
Agora, analisamos o comportamento de
quando
se aproxima de 0:
Portanto, para valores próximos de 0,
. Assim, nossa expressão simplifica para:
Passo 4
Agora, consideramos a função
. À medida que
se aproxima de 0,
tende ao infinito, e a função cosseno oscila rapidamente entre -1 e 1.
Ou seja:
Passo 5
Multiplicando essa desigualdade por
, que é sempre positiva, temos:
Passo 6
Como sabemos que
, tanto os limites das extremidades superior e inferior são 0. Aplicando o Teorema do Aperto (ou Teorema do Sanduíche), concluímos que:
Resposta
Portanto, o limite é igual a 0.