^a Questão. ( 1,0 pt ) Calcule o limite, se existir, e caso não exista, explique por qué.
lim x 0 raizx^3+x^2 cos pix

Passo 1

Vamos resolver o limite limx 0 raizx^3 + x^2 cos(pix). Neste exercício, trabalharemos com limites e funções trigonométricas. Precisaremos entender como o comportamento da função cos(pix) afeta o limite, além de simplificar a expressão envolvendo a raiz quadrada.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da raiz quadrada: raizx^3 + x^2 .
Podemos fatorar x^2 dentro da raiz:
raizx^3 + x^2 = raizx^2(x + 1) = |x| raizx + 1
Aqui, usamos a propriedade raiza cdot b = raiza cdot raizb e lembramos que raizx^2 = |x|.

Passo 3

Agora, analisamos o comportamento de raizx + 1 quando x se aproxima de 0:
limx 0 raizx + 1 = raiz0 + 1 = 1
Portanto, para valores próximos de 0, raizx + 1 approx 1. Assim, nossa expressão simplifica para:
raizx^3 + x^2 approx |x|

Passo 4

Agora, consideramos a função cos(pix). À medida que x se aproxima de 0, pix tende ao infinito, e a função cosseno oscila rapidamente entre -1 e 1.
Ou seja:
-1 <= cos(pix) <= 1

Passo 5

Multiplicando essa desigualdade por |x|, que é sempre positiva, temos:
-,|x| <= |x| cos(pix) <= |x|

Passo 6

Como sabemos que limx 0 |x| = 0, tanto os limites das extremidades superior e inferior são 0. Aplicando o Teorema do Aperto (ou Teorema do Sanduíche), concluímos que:
limx 0 |x| cos(pix) = 0

Resposta

Portanto, o limite é igual a 0.

Exercícios relacionados