Considere a região D limitada pelas retas y=x, y=0, x=2.
(0,5) Escreva a região D como uma região do Tipo I.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descrever a região D, que é limitada pelas retas y = x , y = 0 e x = 2 , como uma região do Tipo I. Isso está dentro do estudo de cálculo integral, especialmente em integrais duplas onde classificamos as regiões para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma região do Tipo I. Em integrais duplas, uma região Tipo I é aquela onde, para cada valor de x dentro de um intervalo, o valor de y varia entre duas funções de x . Ou seja, podemos descrever y como variando de uma função inferior para uma superior, enquanto x varia dentro de limites fixos.

Passo 3

Vamos visualizar as retas que limitam a região D:
  1. y = x : é uma reta que passa pela origem com inclinação 45°.
  2. y = 0 : é o eixo x .
  3. x = 2 : uma linha vertical que corta o eixo x no ponto 2.
Essas retas formam um triângulo com vértices em (0,0) , (2,0) e (2,2) .

Passo 4

Para escrever a região como Tipo I, precisamos determinar os limites para x e y . Observando, x varia de 0 a 2. Para cada x nesse intervalo, y varia de 0 até y = x .

Passo 5

Então, podemos expressar a região D como:
D = (x, y) | 0 <= x <= 2 e 0 <= y <= x
Isso define claramente os limites para x e y de forma que y está sempre entre 0 e x para cada x de 0 a 2.

Resposta

A região D como uma região do Tipo I é:
D = (x, y) | 0 <= x <= 2 e 0 <= y <= x

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