Nos Exercícios de 6 a 30, calcule o limite, se ele existir.
lim x 0 xtg x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular o limite de xtan x quando x se aproxima de 0. Isso está relacionado ao estudo de limites em cálculo, especificamente limites envolvendo funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar entender como a tangente se comporta perto de 0 e usar algumas propriedades básicas dos limites.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a tangente de x pode ser escrita como tan x = sin xcos x. Então, nossa expressão fica:
xtan x = xsin xcos x = x cdot cos xsin x = x cos xsin x

Passo 3

Agora, vamos dividir o numerador e o denominador por x:
x cos xsin x = cos xsin xx

Passo 4

Sabemos por uma propriedade fundamental dos limites que limx to 0 sin xx = 1. Então, substituindo na expressão anterior:
cos xsin xx = cos x cdot 1sin xx = cos x cdot 11 = cos x

Passo 5

Agora, basta calcular o limite de cos x quando x tende a 0:
limx to 0 cos x = cos 0 = 1

Resposta

O limite é 1.

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