Nos problemas abaixo, resolva a equação diferencial dada por separação de variáveis.
d xd y=1+2 y^2y sen x

Passo 1

O enunciado pede resolver, por separação de variáveis, a equação diferencial
dxdy = 1 + 2y^2y,sin x
O método será isolar os termos em x de um lado e os termos em y do outro, e depois integrar.

Passo 2

Multiplicamos ambos os lados por sin x e por dy para obter
sin x,dx = 1 + 2y^2y,dy = l(1y + 2yr),dy

Passo 3

Integramos os dois lados:
integral sin x,dx = integral l(1y + 2yr),dy
À esquerda,
integral sin x,dx = -cos x
À direita,
integral 1y,dy + 2integral y,dy = lnlvert yrvert + y^2
Incluindo a constante de integração C, temos
-cos x = lnlvert yrvert + y^2 + C

Passo 4

Podemos reescrever a solução de forma mais conveniente agrupando as constantes:
cos x + lnlvert yrvert + y^2 = C',
onde C'=-C é outra constante arbitrária.

Passo 5

Se for necessário isolar x, temos
cos x = C' - lnlvert yrvert - y^2,
x = arccosl(C' - lnlvert yrvert - y^2r)

Resposta

cos x + lnlvert yrvert + y^2 = C

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