Considere
a região delimitada pelas curvas
e
.
Escreva uma integral para o cálculo do volume
, do sólido obtido ao girar a região
ao redor da reta
.
Escreva uma integral para o cálculo do volume
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a região
delimitada pelas curvas
e
. Queremos encontrar uma integral que calcule o volume
do sólido formado ao girar essa região em torno da reta
. Para resolver isso, vamos usar o método dos discos ou anéis, que envolve integrar áreas circulares.
Passo 2
Primeiro, vamos determinar onde as curvas
e
se encontram. Para isso, igualamos as duas equações:
Resolvendo para
, temos:
Então, os limites de integração serão de
a
.
Passo 3
Agora, vamos pensar em como o sólido é formado ao girar a região ao redor da reta
. Para cada valor de
, teremos um anel formado pela rotação.
- Raio externo (
): A distância da reta de rotação até a curva inferior .
- Raio interno (
): A distância da reta de rotação até a curva superior .
Passo 4
O volume do sólido de revolução é calculado integrando a diferença das áreas dos discos externo e interno ao longo do intervalo de
. A fórmula geral para isso é:
Substituindo os valores que encontramos: