Considere R a região delimitada pelas curvas y=x^4 e y=1.
Escreva uma integral para o cálculo do volume V1, do sólido obtido ao girar a região R ao redor da reta y=2.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a região R delimitada pelas curvas y = x^4 e y = 1. Queremos encontrar uma integral que calcule o volume V1 do sólido formado ao girar essa região em torno da reta y=2. Para resolver isso, vamos usar o método dos discos ou anéis, que envolve integrar áreas circulares.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar onde as curvas y = x^4 e y = 1 se encontram. Para isso, igualamos as duas equações:
x^4 = 1
Resolvendo para x, temos:
x = pm1
Então, os limites de integração serão de x = -1 a x = 1.

Passo 3

Agora, vamos pensar em como o sólido é formado ao girar a região ao redor da reta y=2. Para cada valor de x, teremos um anel formado pela rotação.
  • Raio externo ( R(x)): A distância da reta de rotação y=2 até a curva inferior y = x^4.
R(x) = 2 - x^4
  • Raio interno ( r(x)): A distância da reta de rotação y=2 até a curva superior y = 1.
r(x) = 2 - 1 = 1

Passo 4

O volume do sólido de revolução é calculado integrando a diferença das áreas dos discos externo e interno ao longo do intervalo de x. A fórmula geral para isso é:
V1 = pi integrala^b [ R(x)^2 - r(x)^2 ] dx
Substituindo os valores que encontramos:
V1 = pi integral-1^1 [ (2 - x^4)^2 - (1)^2 ] dx

Resposta

V1 = pi integral-1^1 ( (2 - x^4)^2 - 1^2 ) dx

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