Considere a região A delimitada pelas curvas y=-x^2+1 e y=(x-1)^2.
Calcule a área da região A.

Passo 1

O enunciado dá duas curvas
y = -x^2 + 1
e
y = (x - 1)^2
e pede a área da região A que elas delimitam. O conteúdo utilizado será o cálculo de área entre curvas, ou seja, integrala^b l(topo(x) - fundo(x)r),dx.

Passo 2

Para encontrar os limites de integração, igualamos as duas funções e achamos os pontos de interseção:
-x^2 + 1 = (x - 1)^2
-x^2 + 1 = x^2 - 2x + 1
0 = 2x^2 - 2x
2x(x - 1) = 0
Logo, as curvas se cruzam em x=0 e x=1.

Passo 3

Vamos ver qual curva está acima entre x=0 e x=1. Tomando x=0,5,
-y1 = -l(0,5r)^2+1 = 0,75, y2 = l(0,5-1r)^2 = 0,25
Então y = -x^2+1 é a função de cima e y = (x-1)^2 a de baixo nesse intervalo.

Passo 4

O integrando é
l(-x^2+1r) - (x-1)^2 = -x^2+1 - (x^2-2x+1) = -2x^2 + 2x = 2x - 2x^2
Montamos a integral da área:
Área = integral0^1 l(2x - 2x^2r),dx Á

Passo 5

Agora calculamos:
integral0^1 l(2x - 2x^2r),dx = [x^2 - tfrac23x^3]0^1 = l(1 - tfrac23r) - 0 = tfrac13

Resposta

A área da região A é tfrac13.

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