Encontre: 1) O domínio de f
2) Os intervalos de crescimento de f
3) Pontos críticos de f
4) Existência de retas assíntotas verticais e horizontais
5) Estude a existência de pontos mínimos e máximos locais e absolutos
6) Intervalos de concavidade de f para cima ou para baixo
7) Esboce o gráfico de f.
f(x)=xx^2-9

Passo 1

O enunciado pede para analisar completamente a função
f(x) = xx^2 - 9,
usando cálculo diferencial: domínio, monotonicidade, pontos críticos, assíntotas, extremos, concavidade e esboço de gráfico.

Passo 2

Para o domínio precisamos que o denominador seja não nulo:
x^2 - 9 neq 0 ;Longrightarrow; x neq pm 3
Logo o domínio é
(-infty,-3)cup(-3,3)cup(3,infty)

Passo 3

Calculamos a derivada por quociente:
f'(x) = 1cdot(x^2-9) - xcdot(2x)(x^2-9)^2 = x^2 - 9 -2x^2(x^2-9)^2 = -x^2+9(x^2-9)^2
Como x^2+9>0 em todo domínio e (x^2-9)^2>0, temos f'(x)<0 em cada intervalo do domínio. Portanto:
  • Não existem intervalos de crescimento.
  • A função é estritamente decrescente em (-infty,-3), em (-3,3) e em (3,infty).

Passo 4

Pontos críticos são soluções de f'(x)=0 ou onde f' não existe dentro do domínio. Aqui:
  • f'(x)=0 não tem solução (numerador nunca zera).
  • f' não existe em x=pm3, mas esses pontos não pertencem ao domínio.
    Logo, não há pontos críticos.

Passo 5

Assíntotas verticais ocorrem onde o denominador tende a 0 dentro do domínio:
x = 3 e x = -3
Assíntota horizontal vem de
limxtopminfty xx^2-9 = limxtopminfty1x - 9/x = 0,
ou seja y=0.

Passo 6

Como a função é estritamente decrescente em cada ― intervalo e não há pontos críticos, não existem máximos nem mínimos locais ou absolutos.

Passo 7

Para a concavidade, computamos
O fator
Isso leva a:
ôô
Há ponto de inflexão em muda de sinal ali; .

Passo 8

Esboço de gráfico (qualitativo):
  • Assíntotas verticais em x=-3 e x=3, horizontal em y=0.
  • Em (-infty,-3): f decresce de 0^- (quando xto-infty) até -infty (quando xto-3^-), côncava para baixo.
  • Em (-3,0): decresce de +infty até 0, côncava para cima.
  • Em (0,3): decresce de 0 até -infty, côncava para baixo.
  • Em (3,infty): decresce de +infty até 0^+, côncava para cima.

Resposta

1) Domínio: (-infty,-3)cup(-3,3)cup(3,infty) 2) Crescimento: não há; decresce em cada intervalo do domínio.
3) Pontos críticos: nenhum.
4) Assíntotas verticais: x=pm3; horizontal: y=0.
5) Extremos locais/absolutos: não existem.
6) Concavidade: côncava para baixo em (-infty,-3)cup(0,3), para cima em (-3,0)cup(3,infty); inflexão em (0,0).
7) Gráfico: conforme descrição no passo anterior.

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