Encontre: 1) O domínio de
2) Os intervalos de crescimento de
3) Pontos críticos de
4) Existência de retas assíntotas verticais e horizontais
5) Estude a existência de pontos mínimos e máximos locais e absolutos
6) Intervalos de concavidade de f para cima ou para baixo
7) Esboce o gráfico de f.
2) Os intervalos de crescimento de
3) Pontos críticos de
4) Existência de retas assíntotas verticais e horizontais
5) Estude a existência de pontos mínimos e máximos locais e absolutos
6) Intervalos de concavidade de f para cima ou para baixo
7) Esboce o gráfico de f.
Passo 1
O enunciado pede para analisar completamente a função
usando cálculo diferencial: domínio, monotonicidade, pontos críticos, assíntotas, extremos, concavidade e esboço de gráfico.
Passo 2
Para o domínio precisamos que o denominador seja não nulo:
Logo o domínio é
Passo 3
Calculamos a derivada por quociente:
Como
em todo domínio e
, temos
em cada intervalo do domínio. Portanto:
- Não existem intervalos de crescimento.
- A função é estritamente decrescente em
, em e em .
Passo 4
Pontos críticos são soluções de
ou onde
não existe dentro do domínio. Aqui:
-
não tem solução (numerador nunca zera). -
não existe em , mas esses pontos não pertencem ao domínio.
Logo, não há pontos críticos.
Passo 5
Assíntotas verticais ocorrem onde o denominador tende a
dentro do domínio:
Assíntota horizontal vem de
ou seja
.
Passo 6
Como a função é estritamente decrescente em cada ― intervalo e não há pontos críticos, não existem máximos nem mínimos locais ou absolutos.
Passo 7
Para a concavidade, computamos
O fator
Isso leva a:
Há ponto de inflexão em muda de sinal ali;
.
Passo 8
Esboço de gráfico (qualitativo):
- Assíntotas verticais em
e , horizontal em . - Em
: decresce de (quando ) até (quando ), côncava para baixo. - Em
: decresce de até , côncava para cima. - Em
: decresce de até , côncava para baixo. - Em
: decresce de até , côncava para cima.