Considere a região A delimitada pelas curvas y=-x^2+1 e y=(x-1)^2.
Escreva uma integral que represente a área de A.

Passo 1

O enunciado pede a área da região A limitada pelas curvas y=-x^2+1 e y=(x-1)^2. Isso envolve encontrar os pontos de interseção dessas curvas e montar uma integral definida que subtraia a curva inferior da curva superior.

Passo 2

Para achar os pontos de interseção, igualamos as duas expressões de y:
-x^2+1 = (x-1)^2 = x^2-2x+1
Passando tudo para um lado,
-x^2+1 - x^2 +2x -1 = 0 Longrightarrow -2x^2+2x = 0 Longrightarrow -2x(x-1)=0,
logo x=0 ou x=1.

Passo 3

Para determinar qual curva está acima em [0,1], avaliamo-las num ponto qualquer, por exemplo x=0,5:
-y1=-x^2+1m|x=0,5=0,75, y2=(x-1)^2m|x=0,5=0,25
Como 0,75>0,25, a curva y=-x^2+1 está acima de y=(x-1)^2 em todo o intervalo.

Passo 4

A área A é dada pela integral da diferença entre a função superior e a inferior de x=0 até x=1:
A = integral0^1l[(-x^2+1)- (x-1)^2r],dx

Resposta

A = integral0^1l[(-x^2+1)- (x-1)^2r],dx

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