Resolva a integral
integral x^2+2 xx^3+3 x^2+4 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral x^2+2xx^3+3x^2+4,dx
O conteúdo aqui é integração de funções racionais por substituição, observando se o numerador é proporcional à derivada do denominador.

Passo 2

Denominemos
u = x^3+3x^2+4
Então a derivada de u em relação a x é
dudx = 3x^2+6x = 3l(x^2+2xr)

Passo 3

Note que o numerador da integral original é x^2+2x, que difere de tfracdudx apenas por um fator constante:
x^2+2x = 13,dudx
Logo, substituindo na integral, obtemos
integral x^2+2xx^3+3x^2+4,dx = integral tfrac13,tfracdudxu,dx = 13integral 1u,dudx,dx

Passo 4

Como dudx,dx = du, a integral fica
13integral 1u,du = 13lnl|ur| + C = 13lnl|x^3+3x^2+4r| + C

Resposta

integral x^2+2xx^3+3x^2+4,dx = 13lnl|x^3+3x^2+4r| + C

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