Considere
a região delimitada pelas curvas
e
.
Calcule uma das integrais encontradas acima.
Calcule uma das integrais encontradas acima.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a região
delimitada pelas curvas
e
. O que precisamos fazer é calcular uma das integrais relacionadas a essa região. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente o cálculo de áreas entre curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender onde essas duas curvas se encontram. Isso é importante porque os pontos de interseção vão determinar os limites de integração.
Temos:
Vamos igualar as duas equações para encontrar os pontos de interseção:
Resolvendo essa equação:
Então:
(não são reais, então ignoramos)
Portanto, os pontos de interseção reais são
e
.
Passo 3
Agora que sabemos que as curvas se cruzam em
e
, vamos determinar qual curva está por cima da outra nesse intervalo. Isso vai nos dizer qual função subtrair da outra para encontrar a área.
Vamos escolher um ponto entre -1 e 1, por exemplo,
:
Aqui,
está acima de
.
Então, a área entre as curvas de
a
é dada pela integral da função de cima menos a função de baixo:
Passo 4
Vamos calcular essa integral passo a passo.
Primeiro, escrevemos a integral:
Agora, vamos integrar termo a termo:
Então:
Vamos avaliar nos limites de integração:
Para
:
Para
:
Agora, subtraímos o valor inferior do valor superior:
Resposta
A área da região
é
unidades quadradas.