Considere R a região delimitada pelas curvas y=x^4 e y=1.
Calcule uma das integrais encontradas acima.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a região R delimitada pelas curvas y = x^4 e y = 1. O que precisamos fazer é calcular uma das integrais relacionadas a essa região. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente o cálculo de áreas entre curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender onde essas duas curvas se encontram. Isso é importante porque os pontos de interseção vão determinar os limites de integração.
Temos:
y = x^4
y = 1
Vamos igualar as duas equações para encontrar os pontos de interseção:
x^4 = 1
Resolvendo essa equação:
x^4 - 1 = 0
(x^2)^2 - 1^2 = 0
(x^2 - 1)(x^2 + 1) = 0
Então:
x^2 - 1 = 0 Rightarrow x = pm 1
x^2 + 1 = 0 Rightarrow x = pm i
(não são reais, então ignoramos)
Portanto, os pontos de interseção reais são x = -1 e x = 1.

Passo 3

Agora que sabemos que as curvas se cruzam em x = -1 e x = 1, vamos determinar qual curva está por cima da outra nesse intervalo. Isso vai nos dizer qual função subtrair da outra para encontrar a área.
Vamos escolher um ponto entre -1 e 1, por exemplo, x = 0:
y = x^4 = 0^4 = 0
y = 1
Aqui, y = 1 está acima de y = x^4.
Então, a área entre as curvas de x = -1 a x = 1 é dada pela integral da função de cima menos a função de baixo:
A = integral-1^1 [1 - x^4] , dx

Passo 4

Vamos calcular essa integral passo a passo.
Primeiro, escrevemos a integral:
A = integral-1^1 (1 - x^4) , dx
Agora, vamos integrar termo a termo:
integral (1) , dx = x
integral x^4 , dx = x^55
Então:
A = [ x - x^55 ]-1^1
Vamos avaliar nos limites de integração:
Para x = 1:
1 - 1^55 = 1 - 15 = 45
Para x = -1:
(-1) - (-1)^55 = -1 - ( -15 ) = -1 + 15 = -45
Agora, subtraímos o valor inferior do valor superior:
A = 45 - (-45) = 45 + 45 = 85

Resposta

A área da região R é 85 unidades quadradas.

Exercícios relacionados