Use coordenadas polares para calcular as seguintes integrais duplas:
, onde D é a região dada por
, com
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
onde
é o semicírculo de raio
centrado na origem com
.
O conteúdo é mudança para coordenadas polares, em que ,
e
.
O conteúdo é mudança para coordenadas polares, em que
Passo 2
Em coordenadas polares temos
logo o integrando fica
, e o elemento de área é
. Portanto o integrando total é
.
Passo 3
A região
em polares é
pois
implica
, ou seja
.
Passo 4
Montamos a integral iterada
Passo 5
Primeiro calculamos a integral em
:
Passo 6
Agora integramos em
:
Multiplicando os resultados das duas integrais: