Use coordenadas polares para calcular as seguintes integrais duplas:
integral duplaD(x^2+y^2)^2 d A, onde D é a região dada por x^2+y^2 <= 4, com x >= 0.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
integral duplaDl(x^2+y^2r)^2,dA
onde D é o semicírculo de raio 2 centrado na origem com x>=0.
O conteúdo é mudança para coordenadas polares, em que x=rcostheta, y=rsintheta e dA=r,dr,dtheta.

Passo 2

Em coordenadas polares temos
x^2+y^2=r^2,
logo o integrando fica l(r^2r)^2=r^4, e o elemento de área é dA=r,dr,dtheta. Portanto o integrando total é r^4cdot r=r^5.

Passo 3

A região D em polares é
0<= r<= 2, -tfracpi2<= theta<= tfracpi2,
pois x=rcostheta>=0 implica costheta>=0, ou seja thetain[-pi/2,pi/2].

Passo 4

Montamos a integral iterada
integral duplaDl(x^2+y^2r)^2dA =integraltheta=-pi/2^pi/2integralr=0^2r^5,dr,dtheta

Passo 5

Primeiro calculamos a integral em r:
integral0^2r^5,dr =[r^66]0^2 =2^66 =646 =323

Passo 6

Agora integramos em theta:
integral-pi/2^pi/2dtheta =pi
Multiplicando os resultados das duas integrais:
323times pi =32pi3

Resposta

32pi3

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