Considere R a região delimitada pelas curvas y=x^4 e y=1.
Escreva uma integral para o cálculo do volume V2, do sólido obtido ao girar a região R ao redor da reta x=2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma região delimitada pelas curvas y = x^4 e y = 1 . A missão é encontrar uma integral que calcule o volume do sólido formado quando essa região gira em torno da reta x = 2 . Para isso, vamos usar o método dos cilindros (ou método das cascas), que é bem útil para calcular volumes de revoluções quando a rotação é em torno de uma linha vertical como é o caso aqui.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir onde as duas curvas se encontram. Isso significa resolver x^4 = 1 . Tirando a raiz quarta de ambos os lados, temos x = pm1 . Então, os limites de integração vão de x = -1 até x = 1 .

Passo 3

Agora, vamos aplicar o método dos cilindros. Nesse método, a ideia é imaginar cada “casca” ou cilindro formada pela rotação de um pequeno pedaço da região em torno da reta x = 2 . Cada cilindro tem um raio e uma altura:
  • Raio: A distância entre o eixo de rotação ( x = 2 ) e o ponto x . Como estamos girando ao redor de x = 2 , o raio será |2 - x| .
  • Altura: A diferença entre as funções superiores e inferiores, ou seja, 1 - x^4 .

Passo 4

A fórmula para o volume usando o método dos cilindros é:
V2 = 2pi integrala^b (raio) times (a<ura) , dx
Substituindo os valores que encontramos:
V2 = 2pi integral-1^1 (2 - x) times (1 - x^4) , dx

Resposta

A integral que calcula o volume V2 é:
V2 = 2pi integral-1^1 (2 - x)(1 - x^4) , dx

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