Nos Problemas 25-30, resolva a equação diferencial dada sujeita à condição inicial indicada.
(3 y^2-x^2y^5) d yd x+x2 y^4=0, y(1)=1

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
l(3y^2-x^2y^5r)dydx+x2y^4=0,
com condição inicial y(1)=1.
O conteúdo é equações de primeira ordem exatas: vamos reescrever em forma M(x,y),dx+N(x,y),dy=0 e buscar uma função potencial Psi(x,y).

Passo 2

Reescrevendo
3y^2-x^2y^5,dy+x2y^4,dx=0
identificamos
M(x,y)=x2y^4, N(x,y)=3y^2-x^2y^5
Calculamos
partial Mpartial y =partialpartial yl(x2y^4r) =-2xy^5, partial Npartial x =partialpartial xl(3y^2-x^2y^5r) =-2xy^5,
como são iguais, a equação é exata.

Passo 3

Procuramos Psi(x,y) tal que
partial Psipartial x=M Longrightarrow Psi(x,y)=integral x2y^4,dx =x^24y^4+h(y)
Depois impomos
partial Psipartial y =-x^2y^5+h'(y) equiv N =3y^2-x^2y^5,
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h'(y)=3y^2y^5=3y^3 Longrightarrow h(y)=-32y^2
Portanto
Psi(x,y)=x^24y^4-32y^2

Passo 4

A solução geral é Psi(x,y)=C, ou seja
x^24y^4-32y^2=C
Usando y(1)=1 obtemos
14-32=-54 Longrightarrow C=-54
Multiplicando por 4y^4
x^2-6y^2+5y^4=0

Passo 5

Trata-se de uma quadrática em Y=y^2:
5Y^2-6Y+x^2=0 Longrightarrow Y=6pmraiz36-20x^210 =3pmraiz9-5x^25
Pela condição y(1)=1>0 escolhemos o sinal “ +”. Logo
y^2=3+raiz9-5x^25,
e como y>0,

Resposta

y(x)=raiz3+raiz9-5x^25

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