Considere a região R delimitada pelas curvas y=raizx, y=x^2 e seja S o sólido obtido por meio de rotação de região R em torno do eixo y=1.
Calcule o volume de S.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma região R delimitada pelas curvas y = raizx e y = x^2. Essa região vai ser girada em torno da linha y = 1, formando um sólido chamado S. Nosso objetivo é calcular o volume desse sólido S.
Para resolver isso, vamos usar o método dos discos ou anéis (também conhecido como método dos cascos), que é uma técnica de cálculo para encontrar volumes de sólidos de revolução. Vamos precisar entender um pouco sobre integrais e como aplicar essas fórmulas para calcular o volume.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os pontos onde as curvas y = raizx e y = x^2 se encontram. Para isso, igualamos as duas equações:
raizx = x^2
Para resolver isso, elevamos ambos os lados ao quadrado:
x = x^4
Então, temos:
x^4 - x = 0 x(x^3 - 1) = 0 x = 0 ou x^3 = 1 Rightarrow x = 1
Portanto, as curvas se intersectam nos pontos x = 0 e x = 1.

Passo 3

Agora, vamos visualizar a região R. Entre x = 0 e x = 1, a curva y = raizx está acima da curva y = x^2. Isso significa que, para cada valor de x nesse intervalo, raizx >= x^2.
Como vamos girar essa região em torno da linha y = 1, precisamos calcular a distância de cada ponto das curvas até essa linha. Usaremos o método dos anéis, onde o volume é dado pela integral da área do anel multiplicada pela espessura.

Passo 4

A fórmula geral para o volume usando o método dos anéis é:
V = pi integrala^b ( R(x)^2 - r(x)^2 ) dx
Aqui, R(x) é a distância da curva de cima até a linha de rotação, e r(x) é a distância da curva de baixo até a linha de rotação.
No nosso caso, a linha de rotação é y = 1. Então:
  • Para a curva de cima, y = raizx, a distância até y = 1 é 1 - raizx.
  • Para a curva de baixo, y = x^2, a distância até y = 1 é 1 - x^2.

Passo 5

Substituindo na fórmula:
V = pi integral0^1 ( (1 - raizx)^2 - (1 - x^2)^2 ) dx
Vamos expandir os termos dentro da integral:
Primeiro, expandimos (1 - raizx)^2:
(1 - raizx)^2 = 1 - 2raizx + x
Depois, expandimos (1 - x^2)^2:
(1 - x^2)^2 = 1 - 2x^2 + x^4
Substituindo de volta na integral:
V = pi integral0^1 ( (1 - 2raizx + x) - (1 - 2x^2 + x^4) ) dx V = pi integral0^1 ( -2raizx + x + 2x^2 - x^4) dx

Passo 6

Agora, podemos integrar termo a termo:
V = pi [ integral0^1 -2raizx , dx + integral0^1 x , dx + integral0^1 2x^2 , dx - integral0^1 x^4 , dx ]
Vamos calcular cada uma dessas integrais:
  1. integral -2raizx , dx = integral -2x^1/2 , dx = -2 cdot 23 x^3/2 = -43 x^3/2
  2. integral x , dx = 12x^2
  3. integral 2x^2 , dx = 2 cdot 13x^3 = 23x^3
  4. integral x^4 , dx = 15x^5

Passo 7

Agora, avaliamos essas expressões de x = 0 a x = 1:
  1. -43 (1)^3/2 + 43 (0)^3/2 = -43
  2. 12(1)^2 - 12(0)^2 = 12
  3. 23(1)^3 - 23(0)^3 = 23
  4. 15(1)^5 - 15(0)^5 = 15
Agora, somamos todos esses valores:
-43 + 12 + 23 - 15
Para somar, vamos encontrar um denominador comum, que é 30:
-4030 + 1530 + 2030 - 630 = (-40 + 15 + 20 - 6)/30 = (-11)/30

Passo 8

Então, o volume é:
V = pi ( -1130 )
Como volume não pode ser negativo, percebemos que houve uma inversão nas distâncias. Portanto, tomamos o valor absoluto:
V = 1130 pi

Resposta

O volume do sólido S é dfrac1130 pi unidades cúbicas.

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