Considere a região
delimitada pelas curvas
e seja
o sólido obtido por meio de rotação de região
em torno do eixo
.
Calcule o volume de
.
Calcule o volume de
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma região
delimitada pelas curvas
e
. Essa região vai ser girada em torno da linha
, formando um sólido chamado
. Nosso objetivo é calcular o volume desse sólido
.
Para resolver isso, vamos usar o método dos discos ou anéis (também conhecido como método dos cascos), que é uma técnica de cálculo para encontrar volumes de sólidos de revolução. Vamos precisar entender um pouco sobre integrais e como aplicar essas fórmulas para calcular o volume.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os pontos onde as curvas
e
se encontram. Para isso, igualamos as duas equações:
Para resolver isso, elevamos ambos os lados ao quadrado:
Então, temos:
Portanto, as curvas se intersectam nos pontos
e
.
Passo 3
Agora, vamos visualizar a região
. Entre
e
, a curva
está acima da curva
. Isso significa que, para cada valor de
nesse intervalo,
.
Como vamos girar essa região em torno da linha
, precisamos calcular a distância de cada ponto das curvas até essa linha. Usaremos o método dos anéis, onde o volume é dado pela integral da área do anel multiplicada pela espessura.
Passo 4
A fórmula geral para o volume usando o método dos anéis é:
Aqui,
é a distância da curva de cima até a linha de rotação, e
é a distância da curva de baixo até a linha de rotação.
No nosso caso, a linha de rotação é
. Então:
- Para a curva de cima,
, a distância até é . - Para a curva de baixo,
, a distância até é .
Passo 5
Substituindo na fórmula:
Vamos expandir os termos dentro da integral:
Primeiro, expandimos
:
Depois, expandimos
:
Substituindo de volta na integral:
Passo 6
Agora, podemos integrar termo a termo:
Vamos calcular cada uma dessas integrais:
Passo 7
Agora, avaliamos essas expressões de
a
:
Agora, somamos todos esses valores:
Para somar, vamos encontrar um denominador comum, que é 30:
Passo 8
Então, o volume é:
Como volume não pode ser negativo, percebemos que houve uma inversão nas distâncias. Portanto, tomamos o valor absoluto:
Resposta
O volume do sólido
é
unidades cúbicas.