Utilize o método de variação dos parâmetros para determinar a solução geral das seguintes equações diferenciais:
(t^2+t) dotx+(2-t^2) dotx-(2+t) undersettilder= t(t+1)^2 sabendo que e^t e 1 / t são duas soluções da equação homogênea associada.

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação
l(t^2+tr)x''+l(2-t^2r)x'-(2+t)x = t(t+1)^2,
sabendo que as funções e^t e 1/t formam um conjunto fundamental de soluções da homogênea. Vamos usar o método de variação de parâmetros para uma EDO linear de segunda ordem.

Passo 2

Primeiro colocamos a equação na forma padrão
x''+p(t)x'+q(t)x = g(t)
Dividindo tudo por t(t+1), obtemos
x''+2-t^2t(t+1),x' - 2+tt(t+1),x = t(t+1)^2t(t+1) = t+1
Portanto
p(t)=2-t^2t(t+1), q(t)=-2+tt(t+1), g(t)=t+1

Passo 3

Denotamos
y1(t)= e^t, y2(t)=1t
como soluções da homogênea.

Passo 4

Calculamos o Wronskiano
W(t)= y1 & y2 y1'&y2' = e^t&1/t e^t&-1/t^2 = e^tl(-1t^2r)- e^tl(1tr) =- e^tt+1t^2

Passo 5

Pela variação de parâmetros, definimos funções u1(t) e u2(t) tais que a particular seja
yp=u1(t)y1(t)+u2(t)y2(t),
com
u1'=-y2,gW, u2'=y1,gW

Passo 6

Calculemos
u1'=-l(tfrac1tr)(t+1)- e^ttfract+1t^2 =t+1t;t^2 e^t(t+1) =t e^t,
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u1(t)=integral t e^t,dt =integral t, e^-t,dt =-t e^-t- e^-t =- e^-t(t+1)

Passo 7

Agora
u2'= e^t(t+1)- e^ttfract+1t^2 =-,t^2,
então
u2(t)=-integral t^2,dt =-t^33

Passo 8

A solução particular fica
yp =u1y1+u2y2 =- e^-t(t+1), e^t -t^33,1t =-(t+1)-t^23 =-l(t^23+t+1r)

Passo 9

Finalmente, a solução geral é
x(t)=C1, e^t+C2,1t -l(t^23+t+1r),
com C1,C2 constantes arbitrárias.

Resposta

boxedx(t)=C1, e^t+C2,1t-l(t^23+t+1r)

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