Determine o ponto sobre a curva y=raizx que está mais próximo do do ponto (5,0).

Passo 1

Resumo do enunciado: a gente precisa achar o ponto sobre a parábola y=raizx que fica mais perto de (5,0). O conteúdo é otimização usando derivadas, e vamos usar a função distância (ou melhor, distância ao quadrado) e derivar em relação a x.

Passo 2

Primeiro, escrevemos a distância ao quadrado entre um ponto genérico (x,raizx) na curva e (5,0). Assim evitamos a raiz e fica mais simples. Definimos
D(x) = (x-5)^2 + l(raizx-0r)^2

Passo 3

Agora simplificamos D(x). Note que (raizx)^2 = x, então
D(x) = (x-5)^2 + x = x^2 -10x +25 + x = x^2 -9x +25

Passo 4

Para achar o mínimo, calculamos a derivada e igualamos a zero:
D'(x) = 2x -9, 2x -9 = 0 implies x = 92

Passo 5

A segunda derivada é D''(x)=2>0, então esse ponto é mesmo um mínimo. Agora basta achar y=raizx em x=9/2:
y = raiz92 = 3raiz2 = 3raiz22

Resposta

O ponto mais próximo é l(tfrac92,,tfrac3raiz22r).

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