Obtenha a área da superfície obtida pela rotação em torno do eixo
da catenária
,
.
Passo 1
Vamos resolver um exercício de cálculo onde precisamos encontrar a área da superfície gerada pela rotação da curva
em torno do eixo
, para
no intervalo de
a
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral relacionados à determinação de áreas de superfícies de revolução. Precisaremos aplicar a fórmula de área de superfície e conhecer derivadas de funções hiperbólicas.
Passo 2
Primeiro, a fórmula para calcular a área da superfície gerada pela rotação de uma curva
em torno do eixo
é:
Aqui,
e
são os limites do intervalo dado.
Passo 3
Vamos calcular a derivada de
em relação a
. Sabemos que:
A derivada de
é:
Passo 4
Substituindo
na fórmula da área, temos:
Lembrando que
, podemos simplificar a expressão dentro da raiz:
Portanto:
Passo 5
A fórmula da área agora fica:
Passo 6
Para integrar
, usamos a identidade hiperbólica:
Substituindo na integral:
Passo 7
Vamos separar a integral em duas partes:
Calculamos cada integral separadamente.
Passo 8
Para a primeira integral:
Avaliada de
a
:
Para a segunda integral:
Passo 9
Substituindo os resultados das integrais na fórmula da área: