Obtenha a área da superfície obtida pela rotação em torno do eixo x da catenária y=cosh x, x in[-1,1].

Passo 1

Vamos resolver um exercício de cálculo onde precisamos encontrar a área da superfície gerada pela rotação da curva y = cosh x em torno do eixo x, para x no intervalo de -1 a 1. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral relacionados à determinação de áreas de superfícies de revolução. Precisaremos aplicar a fórmula de área de superfície e conhecer derivadas de funções hiperbólicas.

Passo 2

Primeiro, a fórmula para calcular a área da superfície gerada pela rotação de uma curva y = f(x) em torno do eixo x é:
S = 2pi integrala^b y raiz1 + (dydx)^2 , dx
Aqui, a = -1 e b = 1 são os limites do intervalo dado.

Passo 3

Vamos calcular a derivada de y em relação a x. Sabemos que:
y = cosh x
A derivada de cosh x é:
dydx = sinh x

Passo 4

Substituindo dydx na fórmula da área, temos:
S = 2pi integral-1^1 cosh x raiz1 + (sinh x)^2 , dx
Lembrando que cosh^2 x - sinh^2 x = 1, podemos simplificar a expressão dentro da raiz:
1 + sinh^2 x = cosh^2 x
Portanto:
raiz1 + sinh^2 x = cosh x

Passo 5

A fórmula da área agora fica:
S = 2pi integral-1^1 cosh x cdot cosh x , dx = 2pi integral-1^1 cosh^2 x , dx

Passo 6

Para integrar cosh^2 x, usamos a identidade hiperbólica:
cosh^2 x = cosh(2x) + 12
Substituindo na integral:
S = 2pi integral-1^1 cosh(2x) + 12 , dx = pi integral-1^1 cosh(2x) + 1 , dx

Passo 7

Vamos separar a integral em duas partes:
S = pi ( integral-1^1 cosh(2x) , dx + integral-1^1 1 , dx )
Calculamos cada integral separadamente.

Passo 8

Para a primeira integral:
integral cosh(2x) , dx = sinh(2x)2
Avaliada de -1 a 1:
[ sinh(2x)2 ]-1^1 = sinh(2)2 - sinh(-2)2 = sinh(2)2 + sinh(2)2 = sinh(2)
Para a segunda integral:
integral-1^1 1 , dx = x g|-1^1 = 1 - (-1) = 2

Passo 9

Substituindo os resultados das integrais na fórmula da área:
S = pi ( sinh(2) + 2 )

Resposta

S = pi ( 2 + sinh(2) )

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