Considere a região entre o eixo e a curva para variando de 0 a 1 . Faça o que se pede em cada item.
Formule a integral (sem resolvè-la) que representa o volume do sólido obtido pela rotação da regiāo em torno do eixo .
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar em torno do eixo a região limitada por e pelo eixo , com variando de a . O conteúdo aqui é “volume por método dos discos (ou anéis)”, e vamos precisar usar a fórmula
onde e são, respectivamente, os raios externo e interno medidos a partir do eixo de rotação.
Passo 2
Identificamos as curvas que limitam : a reta (eixo ) e a curva , que fica abaixo do eixo para . Ao girar em torno do eixo , formam-se discos sem furo interno, pois um dos limites é o próprio eixo. Logo,
Passo 3
Como ln(x)<0 para 0<x<1, temos l|ln(x)r|=-ln(x). Assim o raio do disco é
R(x) = -ln(x)
Passo 4
Substituindo na fórmula do volume por discos, com a=0 e b=1, obtemos