Considere a região R entre o eixo x e a curva y=ln (x) para x variando de 0 a 1 . Faça o que se pede em cada item.
Formule a integral (sem resolvè-la) que representa o volume do sólido obtido pela rotação da regiāo R em torno do eixo x.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar em torno do eixo x a região R limitada por y=ln(x) e pelo eixo x, com x variando de 0 a 1. O conteúdo aqui é “volume por método dos discos (ou anéis)”, e vamos precisar usar a fórmula
V = pi integrala^bl[R(x)^2 - r(x)^2r],dx
onde R(x) e r(x) são, respectivamente, os raios externo e interno medidos a partir do eixo de rotação.

Passo 2

Identificamos as curvas que limitam R: a reta y=0 (eixo x) e a curva y=ln(x), que fica abaixo do eixo para 0<x<1. Ao girar em torno do eixo x, formam-se discos sem furo interno, pois um dos limites é o próprio eixo. Logo,
r(x)=0, R(x)=l|ln(x)r|

Passo 3

Como ln(x)<0 para 0<x<1, temos l|ln(x)r|=-ln(x). Assim o raio do disco é
R(x) = -ln(x)

Passo 4

Substituindo na fórmula do volume por discos, com a=0 e b=1, obtemos
V = pi integral0^1 l(-ln(x)r)^2 ,dx

Resposta

V = pi integral0^1 l(-ln(x)r)^2 ,dx

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