(valor: 1,5 ) Uma partícula percorre uma curva e tem sua trajetória parametrizada por lx=sen(t), y=cos (2 t), com t in[0, pi].
(a) Esboce a curva e identifique como a partícula se locomove.
(b) Formule a integral (sem resolve-la) que representa o comprimento da curva em coordenadas paramétricas.
(c) Formule a integral (sem resolvê-la) que representa o comprimento da curva em coordenadas cartesianas.

Passo 1

O enunciado dá a trajetória de uma partícula em coordenadas paramétricas
x(t)=sin(t), y(t)=cos(2t), tin[0,pi]
O conteúdo é comprimento de curva tanto em forma paramétrica quanto em forma cartesiana. Vamos precisar eliminar o parâmetro para achar a equação cartesiana, e também calcular derivadas para montar as integrais de comprimento de arco.

Passo 2

Para esboçar a curva, note que
y=cos(2t)=1-2sin^2(t)=1-2x^2
Assim a curva é o ramo da parábola y=1-2x^2 com x=sin(t) variando de 0 até 1 (em t=pi/2) e voltando a 0 (em t=pi). No instante t=0 a partícula está em (0,1), depois vai até (1,-1) quando t=pi/2, e retorna a (0,1) em t=pi. Logo o esboço é a parábola “de cabeça para baixo” sobre 0<= x<=1, movendo-se da ponta superior direita para o fundo e retornando.

Passo 3

Para o comprimento da curva em coordenadas paramétricas usamos a fórmula
L=integralt=0^t=piraizl(x'(t)r)^2+l(y'(t)r)^2,dt

Passo 4

Calculamos as derivadas
x'(t)=cos(t), y'(t)=-2sin(2t)=-4sin(t)cos(t),
portanto a integral fica
L =integral0^pi raizcos^2(t)+l(-4sin(t)cos(t)r)^2,dt =integral0^piraizcos^2(t)l(1+16sin^2(t)r),dt

Passo 5

Para formular o comprimento em coordenadas cartesianas usamos y=1-2x^2, logo
y'(x)=-4x,
e a fórmula de comprimento é
L=integraltrajeto raiz1+l(y'(x)r)^2,dx
Como a partícula vai de x=0 até x=1 e depois retorna a x=0, temos duas passagens sobre o mesmo ramo, então
L =2integral0^1raiz1+(-4x)^2,dx =2integral0^1raiz1+16x^2,dx

Resposta

(a) É o ramo da parábola y=1-2x^2 em 0<= x<=1, a partícula sai de (0,1), vai até (1,-1) em t=pi/2 e retorna a (0,1) em t=pi.
(b) L=integral0^piraizcos^2(t)l(1+16sin^2(t)r),dt
(c) L=2integral0^1raiz1+16x^2,dx

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