(valor: 1,5 ) Uma partícula percorre uma curva e tem sua trajetória parametrizada por
com
.
(a) Esboce a curva e identifique como a partícula se locomove.
(b) Formule a integral (sem resolve-la) que representa o comprimento da curva em coordenadas paramétricas.
(c) Formule a integral (sem resolvê-la) que representa o comprimento da curva em coordenadas cartesianas.
(a) Esboce a curva e identifique como a partícula se locomove.
(b) Formule a integral (sem resolve-la) que representa o comprimento da curva em coordenadas paramétricas.
(c) Formule a integral (sem resolvê-la) que representa o comprimento da curva em coordenadas cartesianas.
Passo 1
O enunciado dá a trajetória de uma partícula em coordenadas paramétricas
O conteúdo é comprimento de curva tanto em forma paramétrica quanto em forma cartesiana. Vamos precisar eliminar o parâmetro para achar a equação cartesiana, e também calcular derivadas para montar as integrais de comprimento de arco.
Passo 2
Para esboçar a curva, note que
Assim a curva é o ramo da parábola
com
variando de
até
(em
) e voltando a
(em
). No instante
a partícula está em
, depois vai até
quando
, e retorna a
em
. Logo o esboço é a parábola “de cabeça para baixo” sobre
, movendo-se da ponta superior direita para o fundo e retornando.
Passo 3
Para o comprimento da curva em coordenadas paramétricas usamos a fórmula
Passo 4
Calculamos as derivadas
portanto a integral fica
Passo 5
Para formular o comprimento em coordenadas cartesianas usamos
, logo
e a fórmula de comprimento é
Como a partícula vai de
até
e depois retorna a
, temos duas passagens sobre o mesmo ramo, então
Resposta
(a) É o ramo da parábola
em
, a partícula sai de
, vai até
em
e retorna a
em
.
(b)
(c)
(b)
(c)