Seja f(t) uma função contínua e limitada em t >= 0. A transformada de Laplace de f é a função L definida por
L(s)=integral0^infty e^-s t f(t) d t
Mostre que a função L está bem definida (isto é, a integral imprópria é convergente para cada s >= 0 ).

Passo 1

O enunciado define a transformada de Laplace de uma função contínua e limitada f em [0,infty) por
L(s)=integral0^inftye^-stf(t),dt
e pede para mostrar que essa integral imprópria converge (isto é, L(s) está bem definida) para cada s>0.
O conteúdo envolvido é teste de convergência de integrais impróprias por comparação.

Passo 2

Como f é limitada em [0,infty), existe constante M>0 tal que
|f(t)|<= M para todo t>=0
Então, para qualquer s>0 e R>0,
l|e^-stf(t)r|<= M,e^-st
e, portanto,
integral0^Rl|e^-stf(t)r|,dt <=integral0^RM,e^-st,dt

Passo 3

Calculemos a integral à direita:
integral0^RM,e^-st,dt = Mintegral0^Re^-st,dt = Ml[-tfrac1se^-str]0^R = Msl(1 - e^-sRr)
Ao fazer Rtoinfty, como s>0 temos e^-sRto0, então
integral0^inftyM,e^-st,dt = Ms<infty
Isto mostra que integral0^inftye^-stf(t),dt converge absolutamente e, logo, converge.

Resposta

A integral imprópria
L(s)=integral0^inftye^-stf(t),dt
converge absolutamente para todo s>0, ou seja, L(s) está bem definida em (0,infty).

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