Suponha
integrável em
para todo
. Prove que
Passo 1
O enunciado diz que
é integrável em cada intervalo
e que
converge. Queremos mostrar que isso implica
também converge. O conteúdo usado será o critério de Cauchy para integrais impróprias e a desigualdade triangular.
Passo 2
Lembrando que a integral imprópria
é definida como
ela converge se, e somente se, a família de integrais parciais
é uma sequência de Cauchy quando .
é uma sequência de Cauchy quando
Passo 3
Como
converge, pelo critério de Cauchy existe um
tal que, para todo
,
Passo 4
Para
temos
e, pela desigualdade triangular,
Isto mostra que
I(R)R>=0 é de Cauchy e, portanto, converge quando
Rtoinfty .