Suponha f integrável em [a, t] para todo t >= a. Prove que
integral0^infty|f(x)| d x é conver>=nte Rightarrow integral0^infty f(x) d x é conver>=nte éé

Passo 1

O enunciado diz que f é integrável em cada intervalo [0,t] e que
integral0^infty |f(x)|,dx
converge. Queremos mostrar que isso implica
integral0^infty f(x),dx
também converge. O conteúdo usado será o critério de Cauchy para integrais impróprias e a desigualdade triangular.

Passo 2

Lembrando que a integral imprópria
integral0^infty f(x),dx
é definida como
limRtoinfty integral0^R f(x),dx,
ela converge se, e somente se, a família de integrais parciais
I(R)=integral0^R f(x),dx
é uma sequência de Cauchy quando Rtoinfty.

Passo 3

Como integral0^infty|f(x)|,dx converge, pelo critério de Cauchy existe um M>0 tal que, para todo S>R>= M,
integralR^S |f(x)|,dx < varepsilon

Passo 4

Para S>R>= M temos
integral0^S f(x),dx - integral0^R f(x),dx = integralR^S f(x),dx
e, pela desigualdade triangular,
l|integralR^S f(x),dxr| <= integralR^S |f(x)|,dx < varepsilon
Isto mostra que I(R)R>=0 é de Cauchy e, portanto, converge quando Rtoinfty.

Resposta

integral0^infty f(x),dx converge.

Exercícios relacionados