Considere a região que se encontra entre as curvas y=\operatorname{sec} x e y=\operatorname{tg} x de x=0 a x=\frac{\pi}{2}.
a) Calcule a área desta região.
b) Determine o volume do sólido obtido pela rotação da região em torno do eixo x.
c) Mostre que a área da superfície obtida pela rotação acima, têm área infinita.
Passo 1
O enunciado pede para a região em 0\le x\le\frac{\pi}{2} entre as curvas y=\operatorname{sec} x (acima) e y=\tan x (abaixo). Vamos calcular
a área dessa região;
o volume do sólido obtido pela rotação dessa região em torno do eixo x;
mostrar que a área da superfície gerada por essa rotação é infinita.
Sabemos que \displaystyle\int\operatorname{sec} x\,dx=\ln\bigl|\operatorname{sec} x+\tan x\bigr| e \displaystyle\int\tan x\,dx=-\ln\bigl|\cos x\bigr|=\ln\bigl|\operatorname{sec} x\bigr|.
Assim
Perceba que, quando x\to\frac{\pi}{2}^{-}, \operatorname{sec} x\sim\frac{1}{\frac{\pi}{2}-x} e \operatorname{sec} x\tan x\sim\frac{1}{(\frac{\pi}{2}-x)^2},
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