Considere a região que se encontra entre as curvas y=\operatorname{sec} x e y=\operatorname{tg} x de x=0 a x=\frac{\pi}{2}.
a) Calcule a área desta região.
b) Determine o volume do sólido obtido pela rotação da região em torno do eixo x.
c) Mostre que a área da superfície obtida pela rotação acima, têm área infinita.

Passo 1

O enunciado pede para a região em 0\le x\le\frac{\pi}{2} entre as curvas y=\operatorname{sec} x (acima) e y=\tan x (abaixo). Vamos calcular
  1. a área dessa região;
  2. o volume do sólido obtido pela rotação dessa região em torno do eixo x;
  3. mostrar que a área da superfície gerada por essa rotação é infinita.

Passo 2

Para a área usamos
A=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\bigl[\operatorname{sec} x-\tan x\bigr]\,dx.
Sabemos que \displaystyle\int\operatorname{sec} x\,dx=\ln\bigl|\operatorname{sec} x+\tan x\bigr| e \displaystyle\int\tan x\,dx=-\ln\bigl|\cos x\bigr|=\ln\bigl|\operatorname{sec} x\bigr|.
Assim
A=\Bigl[\ln\bigl(\operatorname{sec} x+\tan x\bigr)-\ln\bigl(\operatorname{sec} x\bigr)\Bigr]_{0}^{\frac{\pi}{2}} =\Bigl[\ln\frac{\operatorname{sec} x+\tan x}{\operatorname{sec} x}\Bigr]_{0}^{\frac{\pi}{2}} =\bigl[\ln(1+\sin x)\bigr]_{0}^{\frac{\pi}{2}} =\ln2.

Passo 3

Para o volume por rotação em torno de x, usa-se o método dos discos (casca cilíndrica daria o mesmo resultado). A área do setor circular transversal é
\pi\bigl(\operatorname{sec}^2x-\tan^2x\bigr)
e como \operatorname{sec}^2x-\tan^2x=1, obtemos
V=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\pi\cdot1\,dx =\pi\Bigl[x\Bigr]_{0}^{\frac{\pi}{2}} =\frac{\pi^2}{2}.

Passo 4

Para a área de superfície gerada pela rotação, basta ver que a parte exterior (gerada por y=\operatorname{sec} x) já diverge. A fórmula é
S=2\pi\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}y\sqrt{1+(y')^2}\,dx \quad\text{com }y=\operatorname{sec} x,\;y'=\operatorname{sec} x\tan x.
Perceba que, quando x\to\frac{\pi}{2}^{-}, \operatorname{sec} x\sim\frac{1}{\frac{\pi}{2}-x} e \operatorname{sec} x\tan x\sim\frac{1}{(\frac{\pi}{2}-x)^2},
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\sqrt{1+(y')^2}\sim\frac{1}{(\frac{\pi}{2}-x)^2} \quad\Longrightarrow\quad y\sqrt{1+(y')^2}\sim\frac{1}{(\frac{\pi}{2}-x)^3}.
Como \displaystyle\int^{\frac{\pi}{2}}\frac{dx}{(\frac{\pi}{2}-x)^3} diverge, segue que S=\infty.

Resposta

a) \ln 2
b) \displaystyle\frac{\pi^2}{2}
c) área de superfície infinita.

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