Considere a região R=\{(x, y): x \geq 1,0 \leq y \leq 1 / x\}.
a) Calcule a área da região R.
b) Calcule o volume do sólido obtido pela rotação de R em torno do eixo x.
c) Qual é a área da superfície obtida pela revolução de R em torno do eixo x (esta superfície é conhecida como trombeta de Gabriel).

Passo 1

O enunciado define a região
R = \{(x,y)\mid x\ge1,\;0\le y\le 1/x\}
e pede:
a) a área de R,
b) o volume do sólido obtido pela rotação de R em torno do eixo x,
c) a área da superfície de revolução de R em torno do eixo x.
Para resolver vamos usar integrais impróprias:
  • Área de região no plano via \iint_R dA.
  • Volume por discos: V=\int\pi [f(x)]^2dx.
  • Área de superfície de revolução:
S = 2\pi\int y\,\sqrt{1+(y')^2}\,dx.

Passo 2

Cálculo da área de R.
Primeiro escrevemos
A = \iint_R dA = \int_{x=1}^{\infty}\Bigl[\int_{y=0}^{1/x}dy\Bigr]dx.
Como \int_{0}^{1/x}dy = 1/x, temos
A = \int_{1}^{\infty}\frac{1}{x}\,dx = \lim_{b\to\infty}\bigl[\ln x\bigr]_{1}^{b} = \lim_{b\to\infty}(\ln b - 0) = \infty.

Passo 3

Cálculo do volume do sólido de revolução em torno do eixo x.
Usamos o método dos discos com raio y=1/x:
V = \int_{1}^{\infty}\pi\bigl(\tfrac{1}{x}\bigr)^{2}dx = \pi\int_{1}^{\infty}x^{-2}dx = \pi\lim_{b\to\infty}\bigl[-x^{-1}\bigr]_{1}^{b} = \pi\bigl(0 + 1\bigr) = \pi.

Passo 4

Cálculo da área da superfície de revolução (trombeta de Gabriel).
Temos y=1/x e
y' = -\,\frac{1}{x^{2}}, \quad (y')^{2} = \frac{1}{x^{4}}.
Logo
S = 2\pi \int_{1}^{\infty} y\,\sqrt{1+(y')^2}\,dx = 2\pi \int_{1}^{\infty} \frac{1}{x}\,\sqrt{1+\frac{1}{x^{4}}}\,dx.
Para x\to\infty o integrando comporta-se como 1/x, e
\int_{1}^{\infty}\frac{1}{x}\,dx
diverge. Logo
S = \infty.

Resposta

a) \infty
b) \pi
c) \infty

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