Considere a região
.
a) Calcule a área da região
.
b) Calcule o volume do sólido obtido pela rotação de
em torno do eixo
.
c) Qual é a área da superfície obtida pela revolução de
em torno do eixo
(esta superfície é conhecida como trombeta de Gabriel).
a) Calcule a área da região
b) Calcule o volume do sólido obtido pela rotação de
c) Qual é a área da superfície obtida pela revolução de
Passo 1
O enunciado define a região
e pede:
a) a área de ,
b) o volume do sólido obtido pela rotação de em torno do eixo
,
c) a área da superfície de revolução de em torno do eixo
.
Para resolver vamos usar integrais impróprias:
a) a área de
b) o volume do sólido obtido pela rotação de
c) a área da superfície de revolução de
Para resolver vamos usar integrais impróprias:
- Área de região no plano via
. - Volume por discos:
. - Área de superfície de revolução:
Passo 2
Cálculo da área de
.
Primeiro escrevemos
Primeiro escrevemos
Como
, temos
Passo 3
Cálculo do volume do sólido de revolução em torno do eixo
.
Usamos o método dos discos com raio :
Usamos o método dos discos com raio
Passo 4
Cálculo da área da superfície de revolução (trombeta de Gabriel).
Temos e
Temos
Logo
Para
o integrando comporta-se como
, e
diverge. Logo
Resposta
a)
b)
c)
b)
c)