Seja f(t) uma função contínua e limitada em t \geq 0. A transformada de Laplace de f é a função L definida por
L(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-s t} f(t) d t
a) Mostre que a função L está bem definida (isto é, a integral imprópria é convergente para cada s>0 ).
b) Calcule a transformada de Laplace das funções f(t)=1, g(t)=e^{t} e h(t)= sen t.
Passo 1
O enunciado define a transformada de Laplace de uma função contínua e limitada f em t\ge0 por
L(s)=\int_{0}^{\infty}e^{-s t}f(t)\,dt,
e pede duas coisas:
– (a) provar que essa integral imprópria converge (ou seja, que L(s) está bem definida) para todo s>0;
– (b) calcular explicitamente L(s) quando f(t)=1, quando g(t)=e^{t} e quando h(t)=\sin t.
Passo 2
Para mostrar convergência, usemos que f é limitada em [0,\infty). Logo existe M>0 tal que
Para todo s>0, a transformada \displaystyle L(s)=\int_{0}^{\infty}e^{-st}f(t)\,dt converge.
(a) L[1](s)=\dfrac{1}{s}.
(b) L[e^{t}](s)=\dfrac{1}{s-1} (válido se s>1).
(c) L[\sin t](s)=\dfrac{1}{s^{2}+1}.