Seja f(t) uma função contínua e limitada em t \geq 0. A transformada de Laplace de f é a função L definida por
L(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-s t} f(t) d t
a) Mostre que a função L está bem definida (isto é, a integral imprópria é convergente para cada s>0 ).
b) Calcule a transformada de Laplace das funções f(t)=1, g(t)=e^{t} e h(t)= sen t.

Passo 1

O enunciado define a transformada de Laplace de uma função contínua e limitada f em t\ge0 por
L(s)=\int_{0}^{\infty}e^{-s t}f(t)\,dt,
e pede duas coisas:
– (a) provar que essa integral imprópria converge (ou seja, que L(s) está bem definida) para todo s>0;
– (b) calcular explicitamente L(s) quando f(t)=1, quando g(t)=e^{t} e quando h(t)=\sin t.

Passo 2

Para mostrar convergência, usemos que f é limitada em [0,\infty). Logo existe M>0 tal que
|f(t)|\le M \quad\text{para todo }t\ge0.
Então
\bigl|e^{-s t}f(t)\bigr|\le M\,e^{-s t}
e, por comparação,
\int_{0}^{\infty}\bigl|e^{-s t}f(t)\bigr|\,dt \le M\int_{0}^{\infty}e^{-s t}\,dt = M\left[-\frac{1}{s}e^{-s t}\right]_{0}^{\infty} =\frac{M}{s}<\infty.
Como a integral de valor absoluto converge, a integral original converge absolutamente e L(s) está bem definida para todo s>0.

Passo 3

Para f(t)=1 temos
L(s) =\int_{0}^{\infty}e^{-s t}\cdot1\,dt =\int_{0}^{\infty}e^{-s t}\,dt =\left[-\frac{1}{s}e^{-s t}\right]_{0}^{\infty} =\frac{1}{s}.

Passo 4

Para g(t)=e^{t} calculamos
L(s) =\int_{0}^{\infty}e^{-s t}e^{t}\,dt =\int_{0}^{\infty}e^{-(s-1)t}\,dt.
Essa integral converge somente se s-1>0, i.e.\ s>1, e dá
\int_{0}^{\infty}e^{-(s-1)t}\,dt =\frac{1}{s-1}.

Passo 5

Para h(t)=\sin t usamos integração por partes ou a fórmula padrão
\int_{0}^{\infty}e^{-s t}\sin t\,dt =\frac{1}{s^{2}+1},
válida para todo s>0.

Resposta

Para todo s>0, a transformada \displaystyle L(s)=\int_{0}^{\infty}e^{-st}f(t)\,dt converge.
(a) L[1](s)=\dfrac{1}{s}.
(b) L[e^{t}](s)=\dfrac{1}{s-1} (válido se s>1).
(c) L[\sin t](s)=\dfrac{1}{s^{2}+1}.

Exercícios relacionados