\int \sin \sqrt{x^{2}+2 x} d x

Passo 1

O enunciado pede a primitiva
I=\int \sin\!\bigl(\sqrt{x^{2}+2x}\bigr)\,dx.
O conteúdo envolve integração de uma função composta cuja primitiva não pode ser expressa em termos de funções elementares usuais. Para investigar isso, vamos primeiro simplificar a forma interna e depois tentar uma mudança de variável.

Passo 2

Complete o quadrado em x^{2}+2x:
x^{2}+2x = (x+1)^{2}-1.
Logo
I=\int \sin\!\bigl(\sqrt{(x+1)^{2}-1}\bigr)\,dx.
Isto sugere pôr
u = x+1,
de modo que du=dx e
I=\int \sin\!\bigl(\sqrt{u^{2}-1}\bigr)\,du.

Passo 3

Defina agora
t = \sqrt{u^{2}-1},
de onde t^{2}=u^{2}-1. Diferenciando,
2t\,dt = 2u\,du \quad\Longrightarrow\quad du = \frac{t}{u}\,dt.
Como u^{2}=t^{2}+1, temos u=\sqrt{t^{2}+1}. Substituindo em I,
I=\int \sin(t)\,\frac{t}{\sqrt{t^{2}+1}}\,dt =\int \frac{t\,\sin t}{\sqrt{t^{2}+1}}\,dt.

Passo 4

O integral
\int \frac{t\,\sin t}{\sqrt{t^{2}+1}}\,dt
é do tipo que, por testes de partes sucessivas ou pelo algoritmo de Risch, não admite primitiva em termos de funções elementares (polinômios, exponenciais, logaritmos, senos, cossenos, raízes finitas etc.).

Passo 5

Concluímos que a antiderivada não é elementar. Uma representação válida é por desenvolvimento em série de potências de \sin:
\sin t = \sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^{k}}{(2k+1)!}\,t^{2k+1},
onde t=\sqrt{x^{2}+2x}. Assim
I =\int \frac{t\,\sin t}{\sqrt{t^{2}+1}}\,dt =\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^{k}}{(2k+1)!} \int \frac{t^{2k+2}}{\sqrt{t^{2}+1}}\,dt + C,
o que define I como série infinita (cada termo integrável em função hipergeométrica).

Resposta

Não existe primitiva elementar para
\int \sin\!\bigl(\sqrt{x^{2}+2x}\bigr)\,dx.
Uma forma de escrevê-la é
\int \sin\!\bigl(\sqrt{x^{2}+2x}\bigr)\,dx =\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^{k}}{(2k+1)!} \int \frac{\bigl(\sqrt{x^{2}+2x}\bigr)^{2k+2}}{\sqrt{\bigl(\sqrt{x^{2}+2x}\bigr)^{2}+1}} \,d\!\bigl(\sqrt{x^{2}+2x}\bigr) + C,
ou então em termos de funções especiais (por exemplo, hipergeométricas).

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