Passo 1
O enunciado pede a primitiva
O conteúdo envolve integração de uma função composta cuja primitiva não pode ser expressa em termos de funções elementares usuais. Para investigar isso, vamos primeiro simplificar a forma interna e depois tentar uma mudança de variável.
Passo 2
Complete o quadrado em
:
Logo
Isto sugere pôr
de modo que
e
Passo 3
Defina agora
de onde
. Diferenciando,
Como
, temos
. Substituindo em
,
Passo 4
O integral
é do tipo que, por testes de partes sucessivas ou pelo algoritmo de Risch, não admite primitiva em termos de funções elementares (polinômios, exponenciais, logaritmos, senos, cossenos, raízes finitas etc.).
Passo 5
Concluímos que a antiderivada não é elementar. Uma representação válida é por desenvolvimento em série de potências de
:
onde
. Assim
o que define
como série infinita (cada termo integrável em função hipergeométrica).
Resposta
Não existe primitiva elementar para
Uma forma de escrevê-la é
ou então em termos de funções especiais (por exemplo, hipergeométricas).